Альтернативность

Альтернативность (бинарная ассоциативность) — свойство бинарной операции $\circ$, являющееся ослабленным вариантом ассоциативности: для любых элементов $x,\;y$

• $\ (x\circ y)\circ y=x\circ (y\circ y)$ — правая альтернативность,
• $\ y\circ (y\circ x)=(y\circ y)\circ x$ — левая альтернативность.

Всякая ассоциативная операция является альтернативной; обратное в общем случае неверно: например, умножение октонионов альтернативно, но не ассоциативно.

Во всякой магме, пара элементов которой порождает ассоциативную подмагму, бинарная операция альтернативна. Обратное в общем случае неверно, но в случае неассоциативных колец из альтернативности кольца следует ассоциативность порождённых каждой парой элементов подколец (теорема Артина).

Исторически первый пример альтернативной структуры — числа Кэли, образующие альтернативное тело; важные приложения в физике имеются у альтернативных алгебр.

Другой вариант ослабления ассоциативности — степенная ассоциативность. Иногда это свойство считается более слабым, чем альтернативность, поскольку при некоторых дополнительных условиях из альтернативности следует степенная ассоциативность, но в общем случае это не так: например, для магмы из элементов $e_{\star },e_{1},e_{2}\dots$ с альтернативным умножением, введённым следующим образом:

• $e_{i}\circ e_{j}=e_{i+j}$ кроме $e_{3}\circ e_{3}=e_{\star }$,
• $e_{\star }\circ e_{i}=e_{i}\circ e_{\star }=e_{i+6}$,
• $e_{\star }\circ e_{\star }=e_{12}$

степенная ассоциативность не выполняется:

$((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})\circ ((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})=e_{3}\circ e_{3}=e_{\star }\neq e_{6}=e_{1}^{6}$.

Литература

• Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Мир, 1970. — 162 с.
• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва: Мир, 1968. — 351 с.
• Альтернативные кольца и алгебры — статья из Математической энциклопедии. К. А. Жевлаков