Анализ функций многих переменных

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Многомерный анализ (также известный как многомерное или многовариантное исчисление) является обобщением дифференциального и интегрального исчислений для случая нескольких переменных.

Типичные операции[править | править вики-текст]

Пределы и непрерывность[править | править вики-текст]

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция

f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}

стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы y = x ^ 2, предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует.

Функция ~f(x_1,\ldots,x_n) имеет пределом число A при стремлении переменных ~x_1,\ldots,x_n, соответственно, к ~a_1,\ldots,a_n, если для каждого число ~\varepsilon > 0 найдется такое число ~\delta > 0, что ~|f(x_1,\ldots,x_n)-A)|<\varepsilon, то есть ~|x_1-a_1|<\delta,\ldots,|x_n-a_n|<\delta.

Функция ~u=f(M) называется непрерывной в точке A, если предельное значение этой функции в точке A существует и равно частному значению ~f(A).

Функция ~u=f(M) называется непрерывной на множестве {M}, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Нахождение частной производной[править | править вики-текст]

Понятие частной производной неизбежно возникает при попытке дифференцирования многомерных функции и в геометрическом смысле является производной от ее части, на пересекающей в точке определения плоскости, которая в случае рассмотрения декартовой прямоугольной системы координат параллельна плоскости (O,x_k,f), где О — точка пересечения координатных осей; x_k — частный аргумент точки дифференцирования; f — ордината точки. Рассматриваемая производная n-мерной функции будет обозначается как ~\frac{\partial f(x_1 ~...~ x_k~ ... ~x_n)}{\partial x_k}, что есть ее дифференцирование по одному из аргументов:

\frac{\partial f(x_1 ~...~ x_k ~... ~x_n)}{\partial x_k}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_1 ~...~x_k +\Delta x_k~... ~x_n)-f(x_1 ~... ~x_k ~... ~x_n)}{\Delta x_k},

где x_k — определенный аргумент; а символ \partial является видоизмененной записью d_x и отдельно не употребляется.

Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла (\nabla) используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции (отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.

Кратное интегрирование[править | править вики-текст]

Интеграл ~\underbrace{\int{\cdots}\int}_{X}f(x_1,\ldots,x_n)dx_1 \ldots dx_n называется кратным интегралом, если ~n>1. В случае ~n=2 он называется двойным, в случае ~n=3 — тройным интегралом, а в случае произвольного ~n\in N — n-кратным. Его обозначают также ~\int\limits_{X}f(x)dx. При такой записи под символом x следует понимать точку ~x = (x_1,x_2,\ldots,x_n) пространства ~E^n, под символом dx — произведение ~dx=dx_1 dx_2 \ldots dx_n, а под знаком ~\int\limits_{D} — n-кратный интеграл по n-мерной области D.

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла на функции многих переменных. Двойные интегралы могут использоваться для вычисления объемов областей в пространстве. Теорема Тонелли — Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл.

Поверхностный интеграл и криволинейный интеграл используются для интегрирования по многообразиям, таким как поверхности и кривые.

Фундаментальная теорема анализа функций многих переменных[править | править вики-текст]

В математическом анализе функций одной переменной фундаментальная теорема устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в анализе функций многих переменных воплощена в известных теоремах интегрирования векторного анализа:

При более углубленном изучении многомерного математического анализа видно, что эти четыре теоремы — частные случаи более общей теоремы, теоремы Стокса об интегрировании дифференциальных форм.

Применение[править | править вики-текст]

Методы многомерного математического анализа используются для изучения многих объектов в физическом мире.

Область Применимые методы
Кривые Osculating circle.svg f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n Длины кривых, Криволинейные интегралы, и кривизна.
Поверхности Helicoid.PNG f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^n Площади поверхностей, поверхностные интегралы, поток через поверхности, и кривизна.
Скалярные поля Surface-plot.png f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} Максимумы и минимумы, множители Лагранжа, производные по направлениям.
Векторные поля Vector field.svg f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n Любая из операций векторного анализа, включая градиент, дивергенцию, и ротор.

Многомерный математический анализ может быть применен для анализа детерминированных систем, которые имеют многочисленные степени свободы. Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, и многомерный математический анализ обеспечивает средства для того, чтобы охарактеризовать системную динамику.

Многомерный математический анализ используется во многих областях естествознания, социологии и инженерии для моделирования и изучения высоко-размерных систем, которые показывают детерминированное поведение. Недетерминированные, или стохастические (случайные) системы могут быть изучены, используя другой вид математики, такой как стохастическое исчисление.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Фихтенгольц, Г. М. Глава пятая. Функции нескольких переменных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Т. 1.
  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 14. Функции нескольких переменных // Основы математического анализа. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Кудрявцев, Л. Д. Главы 4, 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление функций многих переменных // Краткий курс математического анализа. — Т. 2.
  • Выгодский М.Я. Дифференциирование и интегрирований функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике.

Ссылки[править | править вики-текст]