Аналитическое продолжение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией f в её исходной области C, и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно[⇨].

Понятие введено Карлом Вейерштрассом в 1842 году, им же развита соответствующая техника построения таких расширений.

Частный случай для голоморфных функций — голоморфное продолжение.

Определение[править | править вики-текст]

Единственность[править | править вики-текст]

Не во всяком случае аналитическое продолжение существует, но оно всегда единственно: любые две аналитические функции, продолженные с одной и той же функции, всегда совпадают. Для голоморфных функций (частный случай аналитических) единственность может быть выведена из следующего факта: если функция f тождественно равна нулю, то любое её продолжение всюду равно нулю. Поскольку голоморфные функции образуют линейное пространство, этого достаточно для единственности голоморфного продолжения.

Способы построения[править | править вики-текст]

Элементарные методы[править | править вики-текст]

Для самых элементарных функций, таких, как степенная функция и экспонента, аналитическое продолжение осуществляется практически напрямую. Это связано с тем, что аналитическое продолжение в таких случаях осуществляется с множеством весьма специфического вида, которым является вещественная прямая — это множество не имеет комплексных внутренних точек.

Для более сложных случаев применяются более искусственные приёмы. Например, рассмотрим некоторый сходящийся в круге ряд Тейлора, где  — радиус сходимости этого ряда. Согласно одному из эквивалентных определений, таким образом получена аналитическая в круге функция . Что это значит? Это не значит, что в любой точке за пределами полученная функция уже не будет аналитической, это в данный момент неизвестно, это просто значит, что существует точка такая, что ряд в этой точке расходится. Однако можно выбрать некоторую точку  — так как в этой точке функция аналитична, то её можно разложить в ряд, сходящийся в некотором круге . Если для нового радиуса сходимости выполнено соотношение , то уже будут существовать точки, принадлежащие , но не принадлежащие , а из этого в силу теоремы единственности будет следовать, что функция, определенная изначально только в , продолжена на некоторое большее множество, а именно на . В случае, если такое невозможно, то окружность будет естественной границей аналитического продолжения.

Для многих специальных функций аналитическое продолжение осуществляется с помощью некоторого функционального уравнения. Берётся некоторая область, в которой решение этого уравнения заведомо аналитично, и осуществляется перенос результатов на бо́льшую область. В основном таким способом строятся продолжения специальных функций вещественного анализа — например, гамма-функции и дзета-функции Римана.

Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей[править | править вики-текст]

Для построения аналитических продолжений в нетривиальных случаях используется понятие аналитического элемента.

Элементы и называются аналитическим продолжением друг друга через цепочку областей , если существует последовательность элементов и выполняются следующие три условия:

  1. ;
  2. Для произвольных последовательных областей из цепочки их пересечение непусто и  — определенная его связная компонента;
  3. Элемент является аналитическим продолжением через множество .

Росток можно рассматривать как аналитический элемент, состоящий из круга сходимости и собственно аналитической функции — суммы ряда. Такого вида элементы имеют собственное название — канонические элементы и обзоначаются как , где  — круг сходимости ряда, а  — его сумма. Центром канонического элемента называется центр круга сходимости определяющего его ряда.

Аналитическое продолжение вдоль пути[править | править вики-текст]

Для построения аналитического продолжения вдоль пути в развитие техники «дискретного» построения относительно цепочки областей необходимо осуществить переход, в некотором смысле сходный переходу от последовательности к функции.

Рассматривается канонический элемент с центром в точке и некоторая непрерывная жорданова кривая (), обладающая свойством .

Предположим, что существует семейство канонических элементов с ненулевыми радиусами сходимости, такое, что  — центр элемента и для произвольного существует такая окрестность (понимаемая в смысле окрестностей на вещественной прямой), удовлетворяющая условию ; тогда, если для любого элемент является непосредственным продолжением элемента , то считается, что элемент таким образом аналитически продолжается вдоль пути .

Выбирать семейство областей можно произвольным образом, так как можно доказать, что результат аналитического продолжения не зависит от выбора семейства областей.

Достаточно интересным свойством обладает также функция  — радиус круга сходимости . Для семейства, упомянутого в определении продолжения вдоль пути, функция будет непрерывна в смысле вещественного анализа на .

Допустим, что канонический элемент получен из элемента путём аналитического продолжения вдоль некоторого пути через промежуточное семейство элементов . Тогда, если выбрать некоторую возрастающую последовательность элементов отрезка , где круги и будут пересекаться, то элемент будет аналитическим продолжением элемента через цепочку областей .

Одним из самых интересных результатов будет теорема о гомотопической инвариантности аналитического продолжения и её следствие — теорема о монодромии.

Полная аналитическая функция[править | править вики-текст]

Развив аппарат аналитического продолжения вдоль путей, теперь можно перейти от изначальной аналитической функции через аналитические и канонические элементы к более общему понятию — полной аналитической функции. Таким термином будет обозначаться совокупность всех канонических элементов, получаемых из какого-либо первоначального элемента методом аналитического продолжения относительно всех возможных жордановых кривых, допускающих такое продолжение и берущих начало в точке  — центре элемента .

Проясняет внутреннее устройство такого весьма абстрактного понятия теорема Пуанкаре — Вольтерры, гласящая, что в каждой точке своей области определения полная аналитическая функция может иметь не более чем счетное множество элементов с центром в этой точке.

Важность понятия полной аналитической функции состоит в том, что оно позволяет с более общей точки зрения изучить понятие особой точки. А именно, особые точки для полной аналитической функции — просто точки границы области её определения. В зависимости от поведения функции в окрестности этих точек определяется их характер.

Рассмотрим некоторую особую точку для полной аналитической функции и некоторую её проколотую окрестность , принадлежащую области определения . Выберем какую-нибудь замкнутую жорданову кривую . Если аналитическое продолжение вдоль кривой приводит к тому же элементу, то точка называется особой точкой однозначного характера и интерпретируется, как просто изолированная особая точка; если же результатом аналитического продолжения будет уже другой элемент, то точка называется особой точкой многозначного характера или точкой ветвления.

Теорема Адамара[править | править вики-текст]

Для степенного ряда

,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность номеров ненулевых коэффициентов удовлетворяет

для некоторого фиксированного δ > 0, круг с центром z0 и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

Обобщения и связанные понятия[править | править вики-текст]

Аналитическое продолжение может рассматриваться на областях не только в комплексной плоскости, но и в римановых поверхностях, и, более общо, на комплексных многообразиях: D должно быть комплексным многообразием, а C — его подмножеством. Если C — область в D и для любой области C′: CC′D' найдётся функция, голоморфная на C но не продолжаемая на C′, то C называется областью голоморфности. В комплексно-одномерном случае всякая область является областью голоморфности, в многомерном случае это не так.

Можно рассматривать и аналитическое продолжение со множеств C, не являющимися областями, например с действительной прямой. В таком случае функция f изначально определена на неком (зависящем от функции) открытом множестве, содержащем C.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.