Антиэрмитова матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике антиэрмитовой или косоэрмитовой матрицей называется квадратная матрица A, эрмитово сопряжение которой меняет знак исходной матрицы:

или поэлементно:

где через обозначено комплексное сопряжение числа .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Матрица B эрмитова тогда и только тогда, когда матрица i B антиэрмитова. Отсюда следует, что если A — антиэрмитова, то матрицы ±iA эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица A может быть представлена в виде A = i B, где B эрмитова. Таким образом, свойств антиэрмитовых матриц могут при помощи свойств эрмитовых и наоборот.
  • Матрица A антиэрмитова тогда и только тогда, когда для любых векторов и (форма — антиэрмитова).
  • Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).
  • Антиэрмитовы матрицы являются нормальными.
  • Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если антиэрмитова, то эрмитова.
  • Собственные числа антиэрмитовой матрицы либо нулевые, либо чисто мнимые.
  • Любую квадратную матрицу можно представит как сумму эрмитовой и антиэрмитовой:
,
где
— эрмитова,
— антиэрмитова.
  • Матрица антиэрмитова тогда и только тогда, когда её экспонента унитарна.
  • Для любого комплексного числа такого, что , существует взаимно однозначное соответствие между унитарными матрицами , не имеющих собственных числе равных и антиэрмитовыми матрицами , задаваемое формулами Кэли:
где единичная матрица.
В частности, при :

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Brookes, M., "The Matrix Reference Manual", Imperial College, London, UK