Теорема Вейерштрасса — Стоуна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна[⇨].

Первоначально сформулирована и доказана Карлом Вейерштрассом в 1885 году для непрерывных на отрезке вещественной прямой функций, устанавливая возможность их равномерно приблизить последовательностью многочленов[⇨]. В 1937 году Маршалл Стоун существенно обобщил результат[⇨], распространив результат на функции, непрерывные на произвольном T2-отделимом компактном пространстве, образующие кольцо, а в качестве равномерно сходящихся последовательностей функций вместо многочленов — функции из специфичного подкласса непрерывных функций, образующего подкольцо.

Позднее найдены и другие обобщения результата[⇨].

Теорема Вейерштрасса[править | править вики-текст]

Пусть  — непрерывная функция, определённая на отрезке . Тогда для любого существует такой многочлен с вещественными коэффициентами, что для любого из выполнено условие [1].

Если непрерывна на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических многочленов.

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома следует считать комплексными числами.

Схема доказательства Вейерштрасса[править | править вики-текст]

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения: для вещественных всюду определённых непрерывных функций и , абсолютное значение которых не превосходит некоторой границы, притом нигде не меняет своего знака и удовлетворяет равенству и для неё сходится интеграл:

,

выполнено:

.

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен , но и что сходимость равномерная по , меняющемся на любом конечном отрезке.

Взяв в качестве , каждая из функция из семейства:

вполне определена при всех комплексных и является целой. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (теорема Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить многочленами на любом конечном интервале.

Если к тому же  — периодическая функция с периодом , то функции являются целыми периодическими функциями. Но тогда:

является однозначной и голоморфной функцией в области и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

,

поэтому , а значит и можно приблизить тригонометрическими многочленами.

Значение результата Вейерштрасса[править | править вики-текст]

В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а формирующийся на базе интегрального и дифференциального исчисления анализ занимался произвольными функциями, так, Герман Ханкель особо отмечал: «о функции от говорят, когда каждому значению переменной , [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение ; при этом не существенно, зависит ли от во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций»[3], подчёркивая, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция суть предел многочленов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Топологические следствия[править | править вики-текст]

Согласно теореме Вейершртасса пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

Обобщение Стоуна[править | править вики-текст]

В 1935 году Стоун доказал, что всякую функцию из кольца непрерывных на хаусдорфовом компакте функций, можно равномерно приблизить функциями специального класса — составляющими алгебру Стоуна, то есть, алгебра Стоуна является всюду плотной на в пространстве непрерывных функций на компакте: . В качестве нормы равномерной сходимости на берётся , а алгебра Стоуна определяется как подкольцо , содержащее все константы, разделяющие .

Более точно, алгебра Стоуна содержит функции из кольца , удовлетворяющие следующим условиям:

  1. вместе с любыми её элементами в алгебру Стоуна входят элементы: (), , ;
  2. алгебра Стоуна содержит постоянную функцию ;
  3. для каждой пары различных точек найдётся хотя бы одна функция такая, что .
  4. для любой точки найдётся хотя бы одна функция такая, что .

Дальнейшие обобщения[править | править вики-текст]

Существует серия обобщений теоремы Вейерштрасса — Стоуна в различных направлениях. Например, по теорема Мергеляна всякую функцию, непрерывную на всяком компакте со связным дополнением на комплексной плоскости и голоморфную в его внутренних точках можно равномерно приблизить комплексными многочленами. Также были найдены обобщения, позволяющие вместо хаусдорфова компакта рассматривать функции, непрерывные на произвольном тихоновском пространстве.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734
  2. Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.
  3. Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261

Литература[править | править вики-текст]