Арифметико-геометрическая прогрессия

Арифметико-геометрическая прогрессия (АГП) — последовательность чисел $u_{n}$, задаваемая рекуррентным соотношением $u_{n+1}=qu_{n}+d$, где $q$ и $d$ — константы. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при $q=1$) и геометрическая прогрессия (при $d=0$).

Примеры

1. Стационарная последовательность может быть задана следующим образом: $u_{1}=1,\;d=3,\;q=-2$, т. е. $\left\{u_{n}\right\}:\quad 1,\;1,\;1,\;1,\;1$.
2. Убывающая последовательность: $u_{1}=0,\;d=-5,\;q=3$, т. е. $\left\{u_{n}\right\}:\quad 0,\;-5,\;-20,\;-65,\;-200,\;-605,\;-1820$.
3. Возрастающая последовательность: $u_{1}={\dfrac {2}{3}},\;d=-1,\;q=3$, т. е. $\left\{u_{n}\right\}:\quad {\dfrac {2}{3}},\;1,\;2,\;5,\;14,\;41,\;122,\;365$.

Формула для общего члена

Рассмотрим исходное соотношение: $u_{n+1}=qu_{n}+d$ при $n=1,2,...$

Пусть в этом соотношении $q\neq 1$ и $d\neq 0$. Прибавив к обеим частям выражение ${\dfrac {d}{q-1}}$, получаем

$u_{n+1}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)$

$u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n-1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)$

$\ldots$

$u_{3}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)$

$u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)$

Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:

$u_{n+1}=q^{n}(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}})-{\dfrac {d}{q-1}}$

Эвристическое доказательство формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии

По определению $u_{n+1}=qu_{n}+d.$ Вместо $u_{n+1}$ и $u_{n}$ подставим $\lambda$. Тогда $\lambda =q\lambda +d.$ Рассмотрим $u_{n+1}-\lambda =q\left(u_{n}-\lambda \right)$. По методу введения новой переменной обозначим $y_{n+1}\rightleftharpoons u_{n+1}-\lambda$ и $y_{n}\rightleftharpoons u_{n}-\lambda$ и получим рекуррентную формулу для геометрической прогрессии: $y_{n+1}=q\cdot y_{n}.$ Напишем формулу общего члена геометрической прогрессии: $y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}.$ Учитывая, что $y_{1}\rightleftharpoons u_{1}-\lambda$, запишем эквивалентную формулу: $u_{n}-\lambda =\left(u_{1}-\lambda \right)\cdot q^{n-1}.$ Стало быть, $u_{n}=\left(u_{1}-\lambda \right)\cdot q^{n-1}+\lambda .$ Случай 1. При $q=1$ имеем $u_{n+1}=u_{n}+d$. Это рекуррентная формула, задающая арифметическую прогрессию.
Случай 2. Если $q\neq 1$, тогда характеристическое уравнение примет вид $\lambda =q\lambda +d$, откуда $\lambda ={\dfrac {d}{1-q}}$.
Значит, ${\begin{cases}\lambda ={\dfrac {d}{1-q}},\\u_{n}=\left(u_{1}-\lambda \right)\cdot q^{n-1}+\lambda .\end{cases}}$ Наконец, получаем искомую формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии: $u_{n}=\left(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)\cdot q^{n-1}-{\dfrac {d}{q-1}}.$■

Свойства

• Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением:

$u_{n+1}=(q+1)u_{n}-qu_{n-1}$

• Прогрессия $\left\{u_{n}\right\}$ тогда и только тогда стационарна, когда $u_{n}={\dfrac {d}{1-q}}$, причём $q\neq 1$ и $d\neq 0$.

• Разность $d$ арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле

$d={\dfrac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}$

• Последовательность $a_{n}=u_{n+1}-u_{n}$ является геометрической прогрессией с тем же знаменателем $q$.
• Знаменатель $q$ находится по формуле: $q={\dfrac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}$

Теорема [о связи членов арифметико-геометрической прогрессии с её характеристиками]

$u_{n}u_{n+1}-u_{n-1}u_{n+2}=d\cdot q^{n-k+1}\cdot \left(u_{k}-u_{k-2}\right)$

Обобщённая теорема

Если $k+l=n+m$, то $\forall \phi ,\,\forall \psi \in \mathbb {N}$ выполняется равенство

$u_{k}u_{l}-u_{n}u_{m}=d\cdot q^{\left[{\frac {k+l-1}{2}}-{\frac {\phi +\psi }{2}}\right]}\cdot \left(u_{\phi }-u_{\psi }\right)$

• Последовательность частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задаётся уравнением:

$S_{n+1}=(q+2)S_{n}-(2q+1)S_{n-1}+qS_{n-2}$

• Если последовательность частичных сумм является арифметико-геометрической прогрессией, то сама последовательность является геометрической прогрессией.

Тождество арифметико-геометрической прогрессии

Пусть $u_{k},u_{l},u_{m}$ — соответственно $k$-й, $l$-й, $m$-й члены арифметико-геометрической прогрессии со знаменателем $q$, где $k,\,l,\,m\in \mathbb {N}$. Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство арифметико-геометрической прогрессии, называемое тождеством арифметико-геометрической прогрессии:

${\text{I вариант записи:}}\quad \left(q^{k}-q^{l}\right)u_{m}+\left(q^{m}-q^{k}\right)u_{l}+\left(q^{l}-q^{m}\right)u_{k}=0.$${\text{II вариант записи:}}\quad \left(u_{k}-u_{l}\right)q^{m}+\left(u_{m}-u_{k}\right)q^{l}+\left(u_{l}-u_{m}\right)q^{k}=0.$