Арифметическая прогрессия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

a_1,\  a_1+d,\  a_1+2d,\   \ldots,\   a_1+(n-1)d, \ \ldots,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага, или разности прогрессии):

a_n=a_{n-1} + d \quad

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

a_n=a_1 + (n-1)d

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью . При d>0 она является возрастающей, а при d<0 — убывающей. Если d=0, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения a_{n+1}-a_n=d для членов арифметической прогрессии.

Свойства[править | править исходный текст]

Общий член арифметической прогрессии[править | править исходный текст]

Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формуле

a_n=a_1+(n-1)d, где a_1 — первый член прогрессии, d — её разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии[править | править исходный текст]

Последовательность a_1, a_2, a_3, \ldots есть арифметическая прогрессия \Leftrightarrow для ее элементов выполняется условие a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии[править | править исходный текст]

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n может быть найдена по формулам

S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n , где a_1 — первый член прогрессии, a_n — член с номером n, n — количество суммируемых членов.
S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}2 \cdot n , где a_1 — первый член прогрессии, d — разность прогрессии, n — количество суммируемых членов.

Сходимость арифметической прогрессии[править | править исходный текст]

Арифметическая прогрессия a_1, a_2, a_3, \ldots расходится при d\ne 0 и сходится при d=0. Причем

\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0  \\ a_1,\ d=0 \end{matrix} \right.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями[править | править исходный текст]

Пусть a_1, a_2, a_3, \ldots — арифметическая прогрессия с разностью d и число a>0. Тогда последовательность вида a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots есть геометрическая прогрессия со знаменателем a^d.

Арифметические прогрессии высших порядков[править | править исходный текст]

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5, \ldots — это арифметическая прогрессия, в которой первый член a_1=1, а разность d=1.
  • 1, -1, -3, -5, -7 — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой a_1=1 и d=-2.
  • Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу a, то это есть арифметическая прогрессия, в которой a_1=a и d=0. В частности, \pi, \pi, \pi, \ldots есть арифметическая прогрессия с разностью d=0.
  • Сумма первых n натуральных чисел выражается формулой
1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2.

Занимательная история[править | править исходный текст]

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

\frac{n(n+1)}2

т.е. к формуле суммы первых n чисел натурального ряда.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]