Арифметическая прогрессия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая) — числовая последовательность вида

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при  — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

Свойства[править | править вики-текст]

Общий член арифметической прогрессии[править | править вики-текст]

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

, где  — первый член прогрессии,  — её разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии[править | править вики-текст]

Последовательность есть арифметическая прогрессия для любого её элемента выполняется условие .

Сумма первых членов арифметической прогрессии[править | править вики-текст]

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

, где  — первый член прогрессии,  — член с номером ,  — количество суммируемых членов.
формула Алпеева , где  — первый член прогрессии,  — второй член прогрессии  — член с номером .
, где  — первый член прогрессии,  — разность прогрессии,  — количество суммируемых членов.

Сходимость арифметической прогрессии[править | править вики-текст]

Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причём

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями[править | править вики-текст]

Пусть  — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .

Арифметические прогрессии высших порядков[править | править вики-текст]

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если  — арифметическая прогрессия порядка , то существует многочлен , такой, что для всех выполняется равенство [1]

Примеры[править | править вики-текст]

  • Натуральный ряд  — это арифметическая прогрессия, в которой первый член , а разность .
  •  — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой и .
  • Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу , то это есть арифметическая прогрессия, в которой и . В частности, есть арифметическая прогрессия с разностью .
  • Сумма первых натуральных чисел выражается формулой
.

Занимательная история[править | править вики-текст]

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

то есть к формуле суммы первых чисел натурального ряда.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]