Арифметическое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Арифметическое множество — множество натуральных чисел , которое может быть определено формулой в языке арифметики первого порядка, то есть если существует такая формула с одной свободной переменной что . Также можно говорить об арифметических множествах кортежей натуральных чисел, конечных последовательностей натуральных чисел, формул (при любой их фиксированной гёделевской нумерации) и, вообще, об арифметических множествах любых конструктивных объектов, кодируемых натуральными числами.

Связанные определения[править | править код]

Функция называется арифметической, если её график является арифметическим множеством. Аналогично, можно говорить об арифметичности функций и, вообще, функций, определённых на множествах любых конструктивных объектов.

Действительное число называется арифметическим, если множество рациональных чисел, меньших него, арифметично (или, что эквивалентно, если множество рациональных чисел, больших него, арифметично). Комплексное число называется арифметическим, если арифметичны и его действительная, и мнимая части.

Свойства[править | править код]

  • Подмножество арифметического множества не обязательно арифметично.
  • Совокупность всех арифметических множеств натуральных чисел является счётным множеством, а совокупность всех неарифметических множеств — несчётным.
  • Множество комплексных арифметических чисел образует алгебраически замкнутое поле.
  • Любое вычислимое число является арифметическим.
  • Множество арифметических чисел (равно как и его дополнение) плотно в и в
  • Порядок на множестве действительных арифметических чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

Примеры[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]