Артинов модуль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

А́ртинов мо́дуль (по имени Э. Артина) — модуль M, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей

Всякая последовательность подмодулей

M_1\subset M_2\subset\ldots\subset M_i\subset\ldots

стабилизируется, то есть начиная с некоторого n

M_n = M_{n+1} = \ldots

Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве подмодулей M существует минимальный элемент.

Если M артинов, то любой подмодуль и любой фактор-модуль M артиновы. Обратно, если подмодуль N и фактор модуль M/N артиновы, то и сам модуль M артинов.

Если в определении заменить убывающие цепи на возрастающие, то получим определение т. н. нётерова модуля.

Ассоциативное кольцо А с единичным элементом называется артиновым, если оно является артиновым A-модулем (удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для идеалов), для некоммутативного случая соответственно левых или правых).

Литература[править | править исходный текст]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:Мир, 1972
  • Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968