Архимедово тело

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Ромбоусечённый икосо­додекаэдр является самым большим архимедовым телом по объёму (для единичной длины ребра), а также имеющим больше всех других вершин и рёбер.
Псевдоромбокубооктаэдр имеет одну вершинную фигуру, 3.4.4.4, но с поворотом одного квадратного купола. В отличие от (не повёрнутого) ромбокубооктаэдра, фигура не является вершинно транзитивной.

В геометрии архиме́дово те́ло (архиме́дов многогра́нник) — это высоко симметричный полуправильный выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам. Они отличаются от платоновых тел (правильных многогранников), которые состоят только из одного типа многоугольников в одинаковых вершинах, и от многогранников Джонсона, правильные многоугольные грани которого принадлежат различным типам вершин.

Здесь «идентичные вершины» означают, что для любых двух вершин существует изометрия всего тела, переводящая одну вершину в другую. Иногда только требуется, чтобы грани, прилегающие к одной вершине, были изометричными граням при другой вершине. Эта разница в определениях определяет, считается ли удлинённый квадратный гирокупол (псевдо­ромбо­кубо­октаэдр) архимедовым телом или многогранником Джонсона — это единственный выпуклый многогранник, в котором многоугольные грани примыкают к вершине одним и тем же способом в каждой вершине, но многогранник не имеет глобальную симметрию, которая бы переводила любую вершину в любую другую. Основываясь на существовании псевдо­ромбо­кубо­октаэдра, Грюнбаум[1] предложил терминологическое различие, в котором архимедово тело определяется как имеющее одну и ту же вершинную фигуру в каждой вершине (включая удлинённый квадратный гирокупол), в то время как однородный многогранник[en] определяется как тело, у которого любая вершина симметрична любой другой (что исключает гиробикупол).

Призмы и антипризмы, группами симметрий которых являются диэдрические группы, обычно не считаются архимедовыми телами, несмотря на то, что они подпадают под определение, данное выше. С этим ограничением существует только конечное число архимедовых тел. Все тела, кроме удлинённого квадратного гирокупола, можно получить построениями Визоффа из платоновых тел с помощью тетраэдральной, октаэдральной[en] и икосаэдральной[en] симметрий.

Источник названия[править | править вики-текст]

Архимедовы тела названы по имени Архимеда, обсуждавшего их в ныне потерянной работе. Папп ссылается на эту работу и утверждает, что Архимед перечислил 13 многогранников[1]. Во времена Возрождения художники и математики ценили чистые формы и переоткрыли их все. Эти исследования были почти полностью закончены около 1620 года Иоганном Кеплером[2], который определил понятия призм, антипризм и невыпуклых тел, известных как тела Кеплера — Пуансо.

Кеплер, возможно, нашёл также удлинённый квадратный гиробикупол (псевдоромбоикосаэдр) — по меньшей мере, он утверждал, что имеется 14 архимедовых тел. Однако его опубликованные перечисления включают только 13 однородных многогранников, и первое ясное утверждение о существовании псевдоромбоикосаэдра было сделано в 1905 Дунканом Соммервилем[en][1].

Классификация[править | править вики-текст]

Существует 13 архимедовых тел (не считая удлинённого квадратного гирокупола; 15, если учитывать зеркальные отражения двух энантиоморфов, которые ниже перечислены отдельно).

Здесь вершинная конфигурация относится к типам правильных многоугольников, которые примыкают к вершине. Например, вершинная конфигурация (4,6,8) означает, что квадрат, шестиугольник и восьмиугольник встречаются в вершине (порядок перечисления берётся по часовой стрелке относительно вершины).

Название
(Альтернативное название)
Шлефли
Коксетер
Прозрачный Непрозрачный Развёртка Вершинная
фигура
Граней Рёбер Вершин Объём
(при единич-
ном ребре)
Группа
точек
Усечённый тетраэдр {3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Усечённый тетраэдр
(Вращение)
Truncated tetrahedron.png Truncated tetrahedron flat.svg 3.6.6
Truncated tetrahedron vertfig.png
8 4 треугольника
4 шестиугольника
18 12 2.710576 Td
Кубооктаэдр
(ромботетраэдр)
r{4,3} или rr{3,3}
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png или CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
кубооктаэдр
(Вращение)
Cuboctahedron.png Cuboctahedron flat.svg 3.4.3.4
Cuboctahedron vertfig.png
14 8 Треугольников
6 квадратов
24 12 2.357023 Oh
Усечённый куб t{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Усечённый шестигранник
(Вращение)
Truncated hexahedron.png Truncated hexahedron flat.svg 3.8.8
Truncated cube vertfig.png
14 8 треугольников
6 восьмиугольников
36 24 13.599663 Oh
Усечённый октаэдр
(усечённый тетратераэдр)
t{3,4} или tr{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png или CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Усечённый октаэдр

(Вращение)

Truncated octahedron.png Truncated octahedron flat.png 4.6.6
Truncated octahedron vertfig.png
14 6 квадратов
8 шестиугольников
36 24 11.313709 Oh
Ромбокубооктаэдр
(малый ромбокубооктаэдр)
rr{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбокубооктаэдр
(Вращение)
Small rhombicuboctahedron.png Rhombicuboctahedron flat.png 3.4.4.4
Small rhombicuboctahedron vertfig.png
26 8 треугольников
18 квадратов
48 24 8.714045 Oh
Усечённый кубооктаэдр
(большой ромбокубооктаэдр)
tr{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Усечённый кубооктаэдр
(Вращение)
Great rhombicuboctahedron.png Truncated cuboctahedron flat.svg 4.6.8
Great rhombicuboctahedron vertfig.png
26 12 квадратов
8 шестиугольников
6 восьмиугольников
72 48 41.798990 Oh
Плосконосый куб
(плосконосый кубоктаэдр)
sr{4,3}
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Плосконосый шестигранник (Ccw)
(Вращение)
Snub hexahedron.png Snub cube flat.svg 3.3.3.3.4
Snub cube vertfig.png
38 32 треугольника
6 квадратов
60 24 7.889295 O
Икосододекаэдр r{5,3}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Икосододекаэдр
(Вращение)
Icosidodecahedron.png Icosidodecahedron flat.svg 3.5.3.5
Icosidodecahedron vertfig.png
32 20 треугольников
12 пятиугольников
60 30 13.835526 Ih
Усечённый додекаэдр t{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Усечённый додекаэдр
(Вращение)
Truncated dodecahedron.png Truncated dodecahedron flat.png 3.10.10
Truncated dodecahedron vertfig.png
32 20 треугольников
12 десятиугольников
90 60 85.039665 Ih
Усечённый икосаэдр t{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Усечённый икосаэдр
(Вращение)
Truncated icosahedron.png Truncated icosahedron flat-2.svg 5.6.6
Truncated icosahedron vertfig.png
32 12 пятиугольников
20 шестиугольников
90 60 55.287731 Ih
Ромбоикосододекаэдр
(малый ромбоикосододекаэдр)
rr{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбоикосододекаэдр
(Вращение)
Small rhombicosidodecahedron.png Rhombicosidodecahedron flat.png 3.4.5.4
Small rhombicosidodecahedron vertfig.png
62 20 треугольников
30 квадратов
12 пятиугольников
120 60 41.615324 Ih
Ромбоусечённый икосододекаэдр tr{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбоусечённый икосододекаэдр
(Вращение)
Great rhombicosidodecahedron.png Truncated icosidodecahedron flat.svg 4.6.10
Great rhombicosidodecahedron vertfig.png
62 30 квадратов
20 шестиугольников
12 десятиугольников
180 120 206.803399 Ih
Плосконосый додекаэдр
(плосконосый икосододекаэдр)
sr{5,3}
CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Плосконосый додекаэдр (Ccw)
(Вращение)
Snub dodecahedron ccw.png Snub dodecahedron flat.svg 3.3.3.3.5
Snub dodecahedron vertfig.png
92 80 треугольников
12 пятиугольников
150 60 37.616650 I

Некоторые определения полуправильных многогранников включают ещё одно тело — удлинённый квадратный гирокупол или «псевдоромбокубооктаэдр»[3].

Свойства[править | править вики-текст]

Число вершин равно отношению 720° к угловому дефекту при вершине.

Кубоктаэдр и икосододекаэдр являются рёберно однородными[en] и называются квазиправильными.

Двойственные многогранники архимедовых тел называются каталановыми телами. Вместе с бипирамидами и трапецоэдрами они являются однородными по граням[en] телами с правильными вершинами.

Хиральность[править | править вики-текст]

Плосконосый куб и плосконосый додекаэдр хиральны, поскольку они появляются в левостороннем и правостороннем вариантах. Если что-то имеет несколько видов, которые являются трёхмерным зеркальным отражением друг друга, эти формы называют энантиоморфами (это название применяется также для некоторых форм химических соединений).

Построение архимедовых тел[править | править вики-текст]

Подробное рассмотрение темы: Однородные многогранники и Нотация многогранников Конвея
Архимедовы тела могут быть построены с помощью положения генератора в калейдоскопе

Различные архимедовы и платоновы тела могут быть получены друг из друга с помощью пригоршни операций. Начиная с платоновых тел можно использовать операцию усечения углов. Для сохранения симметрии усечение делается плоскостью, перпендикулярной прямой, соединяющей угол с центром многоугольника. В зависимости от того, насколько глубоко проводится усечение (см. таблицу ниже), получим различные платоновы и архимедовы (и другие) тела. Растяжение или скашивание осуществляется путём движения граней (в направлении) от центра (на одно и то же расстояние, чтобы сохранить симметрию) и созданием, затем, выпуклой оболочки. Расширение с поворотом осуществляется также вращением граней, это ломает прямоугольники, возникающие на местах рёбер, на треугольники. Последнее построение, которое мы здесь приводим, это усечение как углов, так и рёбер. Если игнорировать масштабирование, расширение можно также рассматривать как усечение углов и рёбер, но с определённым отношением между усечениями углов и рёбер.

Построение архимедовых тел
Симметрия Тетраэдральная
Tetrahedral reflection domains.png
Октаэдральная[en]
Octahedral reflection domains.png
Икосаэдральная[en]
Icosahedral reflection domains.png
Начальное тело
Операция
Символ
{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
Тетраэдр
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t0.png
Куб
{4,3}
Uniform polyhedron-43-t0.png
Октаэдр
{3,4}
Uniform polyhedron-43-t2.png
Додекаэдр
{5,3}
Uniform polyhedron-53-t0.png
Икосаэдр
{3,5}
Uniform polyhedron-53-t2.png
Усечение (t) t{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
Усечённый тетраэдр
Uniform polyhedron-33-t01.png
Усечённый куб
Uniform polyhedron-43-t01.png
Усечённый октаэдр
Uniform polyhedron-43-t12.png
Усечённый додекаэдр
Uniform polyhedron-53-t01.png
Усечённый икосаэдр
Uniform polyhedron-53-t12.png
Полное усечение (r)
Амвон (a)
r{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
Тетратетраэдр
Uniform polyhedron-33-t1.png
Кубооктаэдр
Uniform polyhedron-43-t1.png
Икосододекаэдр
Uniform polyhedron-53-t1.png
Глубокое усечение[en] (2t)
(dk)
2t{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Усечённый тетраэдр
Uniform polyhedron-33-t12.png
усечённый октаэдр
Uniform polyhedron-43-t12.png
усечённый куб
Uniform polyhedron-43-t01.png
усечённый икосаэдр
Uniform polyhedron-53-t12.png
усечённый додекаэдр
Uniform polyhedron-53-t01.png
Двойное полное усечение (2r)
Двойственный (d)
2r{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
тетраэдр
Uniform polyhedron-33-t2.png
октаэдр
Uniform polyhedron-43-t2.png
куб
Uniform polyhedron-43-t0.png
икосаэдр
Uniform polyhedron-53-t2.png
додекаэдр
Uniform polyhedron-53-t0.png
Скашивание (rr)
Растяжение (e)
rr{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Кубооктаэдр
Uniform polyhedron-33-t02.png
Ромбокубооктаэдр
Uniform polyhedron-43-t02.png
ромбоикосододекаэдр
Uniform polyhedron-53-t02.png
Плосконосое спрямление (sr)
Спрямление[en] (s)
sr{p, q}
CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
плосконосый тетратетраэдр
Uniform polyhedron-33-s012.png
плосконосый куб
Uniform polyhedron-43-s012.png
плосконосый икосододекаэдр
Uniform polyhedron-53-s012.png
скос-усечение[en] (tr)
Скашивание (b)
tr{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Усечённый октаэдр
Uniform polyhedron-33-t012.png
Усечённый кубооктаэдр
Uniform polyhedron-43-t012.png
Ромбоусечённый икосододекаэдр
Uniform polyhedron-53-t012.png

Заметим двойственность между кубом и октаэдром и между додекаэдром и икосаэдром. Также, частично вследствие самодвойственности тетраэдра, только одно архимедово тело имеет только одну тетраэдральную симметрию.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Grünbaum, 2009.
  2. Field, 1997, p. 241—289.
  3. Malkevitch, 1988, p. 85.

Литература[править | править вики-текст]

  • Field J.  Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.
  • Grünbaum, Branko.  An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — DOI:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010 / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
  • Malkevitch, Joseph.  Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston: Birkhäuser, 1988. — P. 80–92.
  • Pugh, Anthony.  Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2
  • Udaya, Jayatilake.  Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.
  • Williams, Robert.  The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)

Ссылки[править | править вики-текст]