Архимедово тело

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Ромбоусечённый икосо­додекаэдр является самым большим архимедовым телом по объёму (для единичной длины ребра), а также имеющим больше всех других вершин и рёбер.
Псевдоромбокубооктаэдр имеет одну вершинную фигуру, 3.4.4.4, но с поворотом одного квадратного купола. В отличие от (не повёрнутого) ромбокубооктаэдра, фигура не является вершинно транзитивной.

Архиме́дово те́ло (или архиме́дов многогра́нник) — выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам. Здесь «идентичные вершины» означают, что для любых двух вершин существует изометрия всего тела, переводящая одну вершину в другую.

Архимедовы тела отличаются от платоновых тел (правильных многогранников), которые состоят только из одного типа многоугольников в одинаковых вершинах, и от многогранников Джонсона, правильные многоугольные грани которого принадлежат различным типам вершин.

Иногда только требуется, чтобы грани, прилегающие к одной вершине, были изометричными граням при другой вершине. Эта разница в определениях определяет, считается ли удлинённый квадратный гиробикупол (псевдо­ромбо­кубо­октаэдр) архимедовым телом или многогранником Джонсона — это единственный выпуклый многогранник, в котором многоугольные грани примыкают к вершине одним и тем же способом в каждой вершине, но многогранник не имеет глобальную симметрию, которая бы переводила любую вершину в любую другую. Основываясь на существовании псевдо­ромбо­кубо­октаэдра, Грюнбаум[1] предложил терминологическое различие, в котором архимедово тело определяется как имеющее одну и ту же вершинную фигуру в каждой вершине (включая удлинённый квадратный гиробикупол), в то время как однородный многогранник определяется как тело, у которого любая вершина симметрична любой другой (что исключает гиробикупол).

Призмы и антипризмы, группами симметрий которых являются диэдрические группы, обычно не считаются архимедовыми телами, несмотря на то, что они подпадают под определение, данное выше. С этим ограничением существует только конечное число архимедовых тел. Все тела, кроме удлинённого квадратного гирокупола, можно получить построениями Витхоффа из платоновых тел с помощью тетраэдральной, октаэдральной[en] и икосаэдральной симметрий.

Источник названия[править | править код]

Архимедовы тела названы по имени Архимеда, обсуждавшего их в ныне потерянной работе. Папп ссылается на эту работу и утверждает, что Архимед перечислил 13 многогранников[1]. Во времена Возрождения художники и математики ценили чистые формы и переоткрыли их все. Эти исследования были почти полностью закончены около 1620 года Иоганном Кеплером[2], который определил понятия призм, антипризм и невыпуклых тел, известных как тела Кеплера — Пуансо.

Кеплер, возможно, нашёл также удлинённый квадратный гиробикупол (псевдоромбокубооктаэдр) — по меньшей мере, он утверждал, что имеется 14 архимедовых тел. Однако его опубликованные перечисления включают только 13 однородных многогранников, и первое ясное утверждение о существовании псевдоромбоикосаэдра было сделано в 1905 Дунканом Соммервилем[en][1].

Классификация[править | править код]

Существует 13 архимедовых тел (не считая удлинённого квадратного гиробикупола; 15, если учитывать зеркальные отражения двух энантиоморфов, которые ниже перечислены отдельно).

Здесь вершинная конфигурация относится к типам правильных многоугольников, которые примыкают к вершине. Например, вершинная конфигурация (4,6,8) означает, что квадрат, шестиугольник и восьмиугольник встречаются в вершине (порядок перечисления берётся по часовой стрелке относительно вершины).

Название
(Альтернативное название)
Шлефли
Коксетер
Прозрачный Непрозрачный Развёртка Вершинная
фигура
Граней Рёбер Вершин Объём
(при единич-
ном ребре)
Группа
точек
Усечённый тетраэдр {3,3}
node_13node_13node
Усечённый тетраэдр
(Вращение)
3.6.6
8 4 треугольника
4 шестиугольника
18 12 2.710576 Td
Кубооктаэдр
(ромботетраэдр)
r{4,3} или rr{3,3}
node4node_13node или node_13node3node_1
кубооктаэдр
(Вращение)
3.4.3.4
14 8 Треугольников
6 квадратов
24 12 2.357023 Oh
Усечённый куб t{4,3}
node_14node_13node
Усечённый шестигранник
(Вращение)
3.8.8
14 8 треугольников
6 восьмиугольников
36 24 13.599663 Oh
Усечённый октаэдр
(усечённый тетратераэдр)
t{3,4} или tr{3,3}
node_13node_14node или node_13node_13node_1
Усечённый октаэдр

(Вращение)

4.6.6
14 6 квадратов
8 шестиугольников
36 24 11.313709 Oh
Ромбокубооктаэдр
(малый ромбокубооктаэдр)
rr{4,3}
node_14node3node_1
Ромбокубооктаэдр
(Вращение)
3.4.4.4
26 8 треугольников
18 квадратов
48 24 8.714045 Oh
Усечённый кубооктаэдр
(большой ромбокубооктаэдр)
tr{4,3}
node_14node_13node_1
Усечённый кубооктаэдр
(Вращение)
4.6.8
26 12 квадратов
8 шестиугольников
6 восьмиугольников
72 48 41.798990 Oh
Курносый куб, или плосконосый куб
(плосконосый кубоктаэдр)
sr{4,3}
node_h4node_h3node_h
Плосконосый шестигранник (Ccw)
(Вращение)
3.3.3.3.4
38 32 треугольника
6 квадратов
60 24 7.889295 O
Икосододекаэдр r{5,3}
node5node_13node
Икосододекаэдр
(Вращение)
3.5.3.5
32 20 треугольников
12 пятиугольников
60 30 13.835526 Ih
Усечённый додекаэдр t{5,3}
node_15node_13node
Усечённый додекаэдр
(Вращение)
3.10.10
32 20 треугольников
12 десятиугольников
90 60 85.039665 Ih
Усечённый икосаэдр t{3,5}
node_13node_15node
Усечённый икосаэдр
(Вращение)
5.6.6
32 12 пятиугольников
20 шестиугольников
90 60 55.287731 Ih
Ромбоикосододекаэдр
(малый ромбоикосододекаэдр)
rr{5,3}
node_15node3node_1
Ромбоикосододекаэдр
(Вращение)
3.4.5.4
62 20 треугольников
30 квадратов
12 пятиугольников
120 60 41.615324 Ih
Ромбоусечённый икосододекаэдр tr{5,3}
node_15node_13node_1
Ромбоусечённый икосододекаэдр
(Вращение)
4.6.10
62 30 квадратов
20 шестиугольников
12 десятиугольников
180 120 206.803399 Ih
Плосконосый додекаэдр
(плосконосый икосододекаэдр)
sr{5,3}
node_h5node_h3node_h
Плосконосый додекаэдр (Ccw)
(Вращение)
3.3.3.3.5
92 80 треугольников
12 пятиугольников
150 60 37.616650 I

Некоторые определения полуправильных многогранников включают ещё одно тело — удлинённый квадратный гиробикупол или «псевдоромбокубооктаэдр»[3].

Свойства[править | править код]

Число вершин равно отношению 720° к угловому дефекту при вершине.

Кубоктаэдр и икосододекаэдр являются рёберно однородными[en] и называются квазиправильными.

Двойственные многогранники архимедовых тел называются каталановыми телами. Вместе с бипирамидами и трапецоэдрами они являются однородными по граням телами с правильными вершинами.

Хиральность[править | править код]

Плосконосый куб и плосконосый додекаэдр хиральны, поскольку они появляются в левостороннем и правостороннем вариантах. Если что-то имеет несколько видов, которые являются трёхмерным зеркальным отражением друг друга, эти формы называют энантиоморфами (это название применяется также для некоторых форм химических соединений).

Построение архимедовых тел[править | править код]

Архимедовы тела могут быть построены с помощью положения генератора в калейдоскопе

Различные архимедовы и платоновы тела могут быть получены друг из друга с помощью пригоршни операций. Начиная с платоновых тел можно использовать операцию усечения углов. Для сохранения симметрии усечение делается плоскостью, перпендикулярной прямой, соединяющей угол с центром многоугольника. В зависимости от того, насколько глубоко проводится усечение (см. таблицу ниже), получим различные платоновы и архимедовы (и другие) тела. Растяжение или скашивание осуществляется путём движения граней (в направлении) от центра (на одно и то же расстояние, чтобы сохранить симметрию) и созданием, затем, выпуклой оболочки. Расширение с поворотом осуществляется также вращением граней, это ломает прямоугольники, возникающие на местах рёбер, на треугольники. Последнее построение, которое мы здесь приводим, это усечение как углов, так и рёбер. Если игнорировать масштабирование, расширение можно также рассматривать как усечение углов и рёбер, но с определённым отношением между усечениями углов и рёбер.

Построение архимедовых тел
Симметрия Тетраэдральная
Октаэдральная[en]
Икосаэдральная
Начальное тело
Операция
Символ
{p, q}
node_1pnodeqnode
Тетраэдр
{3,3}
Куб
{4,3}
Октаэдр
{3,4}
Додекаэдр
{5,3}
Икосаэдр
{3,5}
Усечение (t) t{p, q}
node_1pnode_1qnode
Усечённый тетраэдр
Усечённый куб
Усечённый октаэдр
Усечённый додекаэдр
Усечённый икосаэдр
Полное усечение (r)
Амвон (a)
r{p, q}
nodepnode_1qnode
Тетратетраэдр
Кубооктаэдр
Икосододекаэдр
Глубокое усечение[en] (2t)
(dk)
2t{p, q}
nodepnode_1qnode_1
Усечённый тетраэдр
усечённый октаэдр
усечённый куб
усечённый икосаэдр
усечённый додекаэдр
Двойное полное усечение (2r)
Двойственный (d)
2r{p, q}
nodepnodeqnode_1
тетраэдр
октаэдр
куб
икосаэдр
додекаэдр
Скашивание (rr)
Растяжение (e)
rr{p, q}
node_1pnodeqnode_1
Кубооктаэдр
Ромбокубооктаэдр
ромбоикосододекаэдр
Плосконосое спрямление (sr)
Спрямление (s)
sr{p, q}
node_hpnode_hqnode_h
плосконосый тетратетраэдр
плосконосый куб
плосконосый икосододекаэдр
скос-усечение[en] (tr)
Скашивание (b)
tr{p, q}
node_1pnode_1qnode_1
Усечённый октаэдр
Усечённый кубооктаэдр
Ромбоусечённый икосододекаэдр

Заметим двойственность между кубом и октаэдром и между додекаэдром и икосаэдром. Также, частично вследствие самодвойственности тетраэдра, только одно архимедово тело имеет только одну тетраэдральную симметрию.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 Grünbaum, 2009.
  2. Field, 1997, p. 241—289.
  3. Malkevitch, 1988, p. 85.

Литература[править | править код]

  • Field J.  Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.
  • Grünbaum, Branko.  An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — doi:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010 / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
  • Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston: Birkhäuser, 1988. — P. 80–92.
  • Pugh, Anthony. . Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2
  • Udaya, Jayatilake.  Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.
  • Williams, Robert. . The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)

Ссылки[править | править код]