Ассоциатор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей алгебре (разделе математики), ассоциатор (не обязательно ассоциативно‎го) кольца R — это трилинейное отображение R\times R\times R \to R, определяемое по формуле

[x,y,z] = (xy)z - x(yz).

Подобно тому, как коммутатор измеряет «степень некоммутативности» кольца, ассоциатор измеряет его «степень неассоциативности». А именно, ассоциатор трёх элементов равен нулю тогда и только тогда, когда их умножение в заданном порядке является ассоциативным. Если ассоциатор всех элементов кольца равен 0, то кольцо ассоциативно.

Свойства[править | править исходный текст]

В любом кольце для ассоциатора верно тождество

w[x,y,z] + [w,x,y]z = [wx,y,z] - [w,xy,z] + [w,x,yz].

Кольцо является альтернативным тогда и только тогда, когда его ассоциатор альтернативен, то есть

[x_1,x_2,x_3] = \operatorname{sgn}\sigma [x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},x_{\sigma(3)}]

где \sigma — перестановка трёх элементов, а \operatorname{sgn}\sigma — чётность этой перестановки.

Теория категорий[править | править исходный текст]

В теории категорий ассоциатором называется изоморфизм

 a_{x,y,z} : (x \otimes y)\otimes z \mapsto x\otimes (y\otimes z).

Произведение здесь понимается в смысле произведения в моноидальной категории.