Ассоциатор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ассоциатор в общей алгебретрилинейное отображение R\times R\times R \to R над кольцом (не обязательно ассоциативным) R, определяемое по формуле:

[x,y,z] = (xy)z - x(yz).

Подобно тому, как коммутатор измеряет «степень некоммутативности» кольца, ассоциатор измеряет его «степень неассоциативности». А именно, ассоциатор трёх элементов равен нулю тогда и только тогда, когда их умножение в заданном порядке является ассоциативным. Если ассоциатор всех элементов кольца равен 0, то кольцо ассоциативно.

Свойства[править | править вики-текст]

В любом кольце для ассоциатора верно тождество:

w[x,y,z] + [w,x,y]z = [wx,y,z] - [w,xy,z] + [w,x,yz].

Кольцо является альтернативным тогда и только тогда, когда его ассоциатор альтернативен, то есть:

[x_1,x_2,x_3] = \operatorname{sgn}\sigma [x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},x_{\sigma(3)}],

где \sigma — перестановка трёх элементов, а \operatorname{sgn}\sigma — чётность этой перестановки.

Теория категорий[править | править вики-текст]

В теории категорий ассоциатором называется изоморфизм:

 a_{x,y,z} : (x \otimes y)\otimes z \mapsto x\otimes (y\otimes z).

Произведение здесь понимается в смысле произведения в моноидальной категории.

Литература[править | править вики-текст]

  • Скорняков Л. А.; Шестаков И. П. Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.