Атомарная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Атомарные функции»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Атома́рная фу́нкция — финитное решение функционально-дифференциального уравнения вида

где  — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами;  коэффициенты ,  причём  [1][2].

Атомарная функция up(x)[править | править код]

Простейшая атомарная функция   (читается: «ап от »[3])  является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения

с носителем   которое удовлетворяет условию нормировки   (доказано, что при указанной нормировке это решение существует и единственно)[4].

Атомарная функция и её производная

Преобразование Фурье функции имеет вид

где sinc-функция.

Функция — чётная, возрастает на отрезке , убывает на интервале а её график ограничивает над осью абсцисс единичную площадь. Кроме того, при . Таким образом, целочисленные сдвиги образуют следующее разбиение единицы:

Значения в двоично-рациональных точках вида рациональные числа. Функция неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для её вычисления нельзя использовать ряд Тейлора, однако существуют быстросходящиеся ряды специального вида, приспособленные для таких вычислений. Используются также разложения в ряд Фурье, ряды по полиномам Лежандра, Бернштейна и др.

Атомарные функции бесконечно дробимы, т. е. представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов. Хорошие аппроксимативные свойства функции основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий можно представить алгебраический многочлен любой степени.

Атомарные функции ha(x), совершенные сплайны[править | править код]

Атомарные функции (при ) являются обобщением функции . Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид:

Таким образом, Преобразование Фурье функции имеет вид

следовательно, функции есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов (прямоугольных функций), ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов бесконечного произведения, получим преобразование Фурье совершенных сплайнов с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением

Обобщённая теорема Котельникова[править | править код]

Нули преобразований Фурье функций расположены регулярным образом в точках . В связи с этим любую непрерывную функцию с финитным спектром можно разложить в ряд

где [5].

Данная формула обобщает известную теорему Котельникова[5]; впервые она была предложена В. Ф. Кравченко и В. А. Рвачёвым[6], а в дальнейшем развита Е. Г. Зелкиным, В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом[7].

История и развитие[править | править код]

Атомарные функции впервые были введены в работе[8] 1971 года. Обстоятельства появления функции связаны с проблемой, поставленной в 1967 году В. Л. Рвачёвым и решённой В. А. Рвачёвым: найти такую финитную дифференцируемую функцию, что её график имел бы вид «горба» с одним участком возрастания и одним участком убывания, а график её производной состоял бы из «горба» и «ямы», причём последние были бы подобны «горбу» самой функции, т. e. представляли бы собой — с точностью до масштабного коэффициента — сдвинутую и сжатую копию графика исходной функции[9].

Итоги начального этапа развития теории атомарных функций представлены в работе В. А. Рвачёва «Атомарные функции и их применение»[10]. В ней дан подробный обзор работ по теории атомарных функций, доведённый до 1984 г., приведён список нерешённых задач теории атомарных функций, во многом определивший направления дальнейших исследований.

В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации, численном анализе, цифровой обработке сигналов, вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школы[11][12][13][14][15][16][17][18][19][20][21].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Рвачёв и Рвачёв, 1979, с. 110.
  2. Кравченко, 2003, с. 17.
  3. Тихомиров, 1987, с. 202—203.
  4. Рвачёв В. Л.  Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наукова думка, 1982. — 552 с. — С. 383.
  5. 1 2 Кравченко, 2003, с. 90—92.
  6. Кравченко В. Ф., Рвачёв В. А.  Применение атомарных функций в задачах интерполяции // Электромагнитные волны и электронные системы. — 1998. — Т. 3, № 3. — С. 16—26.
  7. Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Басараб М. А.  Интерполяция сигналов с финитным спектром с помощью преобразований Фурье атомарных функций и её применение в задачах синтеза антенн // Радиотехника и электроника. — 2002. — Т. 47, № 4. — С. 461—468.
  8. Рвачов В. Л., Рвачов В. О.  Про одну фінітну функцію // ДАН УРСР. Сер. А. — 1971. — № 8. — С. 705—707.
  9. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В.  Атомарные функции и WA-системы и функций в современных проблемах радиофизики и техники // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2011. — Т. 16, № 9. — С. 7—32.
  10. Рвачёв В. А.  Атомарные функции и их применение // Стоян Ю. Г., Проценко В. С., Манько Г. П. и др. Теория R-функций и актуальные проблемы прикладной математики. — Киев: Наукова думка, 1986. — 264 с. — С. 45—65.
  11. Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В. П.  Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера — Котельникова — Шеннона. — М.: Радиотехника, 2004. — 72 с. — ISBN 5-93108-064-3.
  12. Кравченко В. Ф., Рвачёв В. Л.  Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. — М.: Физматлит, 2006. — 416 с. — ISBN 5-9221-0752-6.
  13. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2007. — 544 с. — ISBN 978-5-9221-0871-3.
  14. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А.  Методы моделирования и цифровой обработки сигналов в гироскопии. — М.: Физматлит, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-9221-0809-6.
  15. Волосюк В. К., Кравченко В. Ф.  Статистическая теория радиотехнических систем дистанционного зондирования и радиолокации / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2008. — 704 с. — ISBN 978-5-9221-0895-9.
  16. Кравченко В. Ф., Лабунько О. С., Лерер А. М., Синявский Г. П.  Вычислительные методы в современной радиофизике / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2009. — 464 с. — ISBN 978-5-9221-1099-0.
  17. Волосюк В. К., Гуляев Ю. В., Кравченко В. Ф., Кутуза Б. Г., Павликов В. В., Пустовойт В. И.  Современные методы оптимальной обработки пространственно-временных сигналов в активных, пассивных и комбинированных активно-пассивных радиотехнических системах // Радиотехника и электроника. — 2014. — Т. 59, № 2. — С. 109—131.
  18. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В.  Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть I // Радиотехника и электроника. — 2014. — Т. 59, № 10. — С. 949—978.
  19. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В., Юрин А. В.  Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть II // Радиотехника и электроника. — 2015. — Т. 60, № 2. — С. 109—148.
  20. Кравченко В. Ф., Кравченко О. В., Пустовойт В. И., Чуриков Д. В.  Применение семейств атомарных, WA-систем и R-функций в современных проблемах радиофизики. Часть III // Радиотехника и электроника. — 2015. — Т. 60, № 7. — С. 663—694.
  21. Кравченко В. Ф., Коновалов Я. Ю., Пустовойт В. И.  Семейства атомарных функций chan(x) и fupn(x) в цифровой обработке сигналов // ДАН РАН. — 2015. — Т. 462, № 1. — С. 35—40.

Литература[править | править код]

  • Рвачёв В. Л., Рвачёв В. А.  Неклассические методы теории приближений в краевых задачах. — Киев: Наукова думка, 1979. — 196 с.
  • Стоян Ю. Г., Проценко В. С., Манько Г. П. и др.  Теория R-функций и актуальные проблемы прикладной математики. — Киев: Наукова думка, 1986. — 264 с.
  • Тихомиров В. М.  Теория приближений // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1987. — 272 с. — С. 103—260.
  • Кравченко В. Ф.  Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. — М.: Радиотехника, 2003. — 512 с. — ISBN 5-93108-019-8.