База топологии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

База топологии (база топологического пространства, базис топологии, открытая база) — семейство открытых подмножеств топологического пространства , такое, что любое открытое множество в представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Часто базу топологии предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например, на метрическом пространстве топология определяется через базу, образованную всеми открытыми шарами.

Определение[править | править вики-текст]

Семейство открытых множеств топологического пространства называется базой топологии (или топологического пространства), если любое открытое множество из представимо в виде объединения элементов семейства .

Семейство открытых множеств топологического пространства является базой, тогда и только тогда, когда для каждой точки пространства и её окрестности найдётся множество из такое, что .

Вес топологического пространства[править | править вики-текст]

Минимум мощностей всех баз пространства называется весом топологического пространства и обозначается .

  • Для каждой базы существует подмножество , являющееся базой и имеющее мощность, равную весу пространства.
  • Если вес пространства не более, чем счетный (то есть имеет счётную базу), то называют пространством со второй аксиомой счетности.
  • В пространстве веса существует всюду плотное множество мощности .

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Локальная база пространства в точке (база точки ) — семейство окрестностей точки со свойством: для любой окрестности точки найдется элемент такой, что .
    • Минимум мощностей всех локальных баз пространства в точке называется характером пространства в точке и обозначается .
    • Супремум характеров пространства во всех точках называется характером пространства и обозначается .
    • Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются пространствами с первой аксиомой счетности.
    • Семейство открытых в X множеств является базой тогда и только тогда, когда для каждой точки подсемейство всех элементов , содержащих точку является локальной базой точки .
  • Система окрестностей — это семейство , такое, что является локальной базой пространства в точке для каждого .
  • Предбаза — семейство открытых подмножеств топологического пространства такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов , образует базу пространства .
  • Замкнутая база — семейство всех дополнений к элементам некоторой базы.
  • -база (решёточная база) — семейство непустых открытых подмножеств пространства такое, что всякое непустое открытое в множество содержит множество из , то есть плотно по Хаусдорфу в пространстве . Любая база есть -база. Обратное неверно, например, в компактификации Стоуна — Чеха множества натуральных чисел семейство одноточечных подмножеств множества является -базой, но не является базой.
  • Псевдобаза

Задание топологии с помощью базы, предбазы и системы окрестностей[править | править вики-текст]

  • Семейство подмножеств произвольного множества является базой некоторой топологии на в том, и только в том случае, когда удовлетворяет следующим условиям:
  1. Каждая точка принадлежит некоторому множеству из семейства .
  2. Для любых множеств и точки существует множество такое, что .
В этом случае является базой топологии на , в которой множества открыты тогда и только тогда, когда они представимы в виде объединения некоторых подмножеств из . Такую топологию называют топологией, порождённой базой .
  • Для того, чтобы семейство подмножеств произвольного множества было предбазой некоторой топологии на необходимо и достаточно выполнение вышеуказанного условия 1. При этом в этой топологии открыты те и только те множества, которые представимы в в виде объединения конечных пересечений некоторых подмножеств из . Такую топологию называют топологией, порождённой предбазой . Это наименьшая топология, содержащая семейство .
  • Совокупность семейств подмножеств произвольного множества является системой окрестностей некоторой топологии на тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:
  1. Для каждого семейство непусто и для любого .
  2. Для всякого найдётся такое, что .
  3. Для всяких множеств существует , такое, что .
В этом случае является системой окрестностей топологии на , состоящей из всех подмножеств, представимых в виде объединения подсемейств семейства . Такую топологию называют топологией, порождённой системой окрестностей .

Примеры[править | править вики-текст]

  • Базой любого топологического пространства является семейство всех его открытых множеств.
  • Дискретная топология имеет в качестве базы синглетон.
  • Если и  — топологические пространства с базами топологий и , тогда топология на декартовом произведении задаётся с помощью базы

При этом топология на не будет зависеть от того, какие базы пространств X и Y используются для её задания. Такая топология называется (стандартной) топологией декартова произведения топологических пространств.
  • Топология пространства действительных чисел задаётся системой всех интервалов , которая составляет базу этой топологии. Аналогично топология пространства задаётся базой открытых брусов , и эта топология, очевидно, совпадает со стандартной топологией прямого произведения пространств.
  • Упорядоченная топология обычно определяется как топология порождённая набором открыто-интервальных множеств.
  • Метрическая топология обычно определяется как топология порождённая набором открытых шаров, задаваемых определенной метрикой.

Литература[править | править вики-текст]

  • Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948
  • Урысон П. С., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1—2, М.—Л., 1951
  • Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в в теорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973
  • Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974
  • Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968
  • Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
  • Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.

Ссылки[править | править вики-текст]