Система Риса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Базис Рисса»)
Перейти к: навигация, поиск

Система Риса — такая система векторов \{f_n\}_{n=1}^\infty \in H в гильбертовом пространстве H с заданными постоянными A и B, что для любой последовательности комплексных чисел c=\{c_n\}_{n=1}^\infty \in l_2 ряд \sum_{n=1}^\infty c_nf_n сходится по норме в H, причём выполнено:

A\|c\|^2_{l_2}\leqslant \left\| \sum_{n=1}^\infty c_n f_n \right\|^2_H \leqslant B\|c\|^2_{l_2}.

Базис Риса — такая система Риса, которая является базисом в H (базисом Шаудера).

Базис Риса является обобщением понятия ортонормированного базиса, а двойное неравенство, данное в определении — обобщение неравенства Бесселя. Другое название базисов Риса — базисы, эквивалентные ортонормированным.

Система векторов является базисом Риса тогда и только тогда, когда она может быть получена из ортонормированного базиса с помощью ограниченного обратимого преобразования.

Любая система Риса является базисом Риса в пространстве:

V=\left\{ f=\sum_{n=1}^\infty c_n f_n, ~~\sum_{n=1}^\infty|c_n|^2 < \infty \right\},

при этом для любого элемента f\in V выполняется неравенство:

A\|f\|^2 \leqslant \sum_{n=1}^{\infty}|(f, f_n)|^2 \leqslant B \|f\|^2.

Любой базис Риса является безусловным базисом, то есть остаётся базисом после любой перестановки элементов.

Литература[править | править вики-текст]