Бесконечномерное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Бесконечномерное пространствовекторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам[1].

Определение[править | править код]

Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа в нем найдется линейно независимая система, состоящая из векторов[2][3].

Базис[править | править код]

Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.

Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов образует базис Шаудера пространства , если каждый элемент представим единственным образом в виде сходящегося ряда [4]. Базис Шаудера существует не всегда.

Примеры[править | править код]

Свойства[править | править код]

  • Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерному[8].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Функциональный анализ // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 613-615
  2. 1 2 Ефимов, 2004, с. 33.
  3. Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 17
  4. Крейн, 1964, с. 74.
  5. Шилов, 1961, с. 182.
  6. Ефимов, 2004, с. 42.
  7. Манин Ю.И. Математика как метафора. — М., МЦНМО, 2008. — ISBN 978-5-94057-287-9. — с. 148
  8. Ефимов, 2004, с. 39.

Литература[править | править код]