Бесконечно делимое распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Определение[править | править вики-текст]

Случайная величина называется бесконечно делимой, если для любого она может быть представлена в виде

,

где независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений[править | править вики-текст]

.

  • Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
  • Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
  • Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределений[править | править вики-текст]

Теорема Колмогорова[править | править вики-текст]

Для того, чтобы функция распределения c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции имел вид:

,

где — вещественная постоянная, а — неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — Хинчина[править | править вики-текст]

Пусть — характеристическая функция бесконечно делимого распределения на . Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации , такая что

Примеры[править | править вики-текст]

для некоторого . Тогда случайная величина , имеющая вид

не является бесконечно делимой.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]