Бесконечно малое

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Идея бесконечно малого восходит к греческой античности (в русской литературе часто используется эквивалентный термин инфинитезималь). Архимед пользовался бесконечно малыми в своей книге «Метод механических теорем» (Послание к Эратосфену о методе) для вычисления площади фигур и объёма тел. Классические авторы стремились подменять инфинитезимальные вычисления методом исчерпывания, считая его более строгим.

XV век увидел новаторскую работу Николая Кузанского, развитую дальше Иоганном Кеплером, в частности расчет площади круга, представляя последний в виде бесконечно-угольника. Симон Стевин разработал континуум десятичных дробей в XVI веке. Метод неделимых Бонавентура Кавальери привёл к расширению результатов классических авторов. Метод неделимых рассматривал геометрические фигуры как состоящие из объектов коразмерности 1. Бесконечно малые Джонa Уоллисa отличалась от неделимых в том, что он разлагал геометрические фигуры на бесконечно тонкие составные части той же размерности, что и фигура, готовя почву для общих методов интегрального исчисления. Он пользовался инфинитезималем, обозначаемым \textstyle \frac{1}{\infty} в вычислении объёмов.

Пьер Ферма, вдохновленный Диофантом, ввел понятие adequality, то есть «адекватнoе» или примерное равенство (с точностью до бесконечно малой ошибки), которое в конечном счете сыграло ключевую роль в современной математической реализации инфинитезимального определения производной и интеграла. Использование инфинитезималей y Лейбница опиралось на эвристический принцип, называемый законом непрерывности: что успешно для конечных чисел, успешно также и для бесконечных чисел, и наоборот.

Мир XVIII века увидел рутинное использование инфинитезималей такими великими авторами, как Леонард Эйлер и Жозеф Лагранж. Огюстен Луи Коши использовал инфинитезимали в своем определении непрерывности, а также ранней формы дельта-функции Дирака. В то время, как Георг Кантор и Рихард Дедекинд развивали более абстрактные версии континуума Стевина, Дю Буа-Реймон пишет ряд работ об инфинитезимально-обогащенных континуумах, основанных нa темпах роста функций. Работы Поля Дюбуа-Реймона вдохновили как Эмиля Бореля так и Туральфа Скулема.

Скулем разработал первые нестандартные модели арифметики в 1934 году. Математическое осуществление как закона непрерывности, так и инфинитезималей, было достигнуто Абрахамом Робинсоном в 1961 году. Его нестандартный анализ был основан на более ранних работах Эдвин Хьюиттa в 1948 году, и Ежи Лося в 1955 году. Гипервещественные числа реализуют инфинитезимально-обогащенный континуум, тогда как принцип переноса реализует закон непрерывности Лейбница.

Современные реализации[править | править исходный текст]