Беспорядок (перестановка)

Не следует путать с Инверсия (перестановка).

Беспорядок в комбинаторике — перестановка без неподвижных точек; количество беспорядков заданного числа $n$ — его субфакториал $!n$.

Пример задачи, где требуется вычислить число всех беспорядков — задача о письмах, считающаяся классикой олимпиадной математики: если $n$ писем случайным образом положить в $n$ различных конвертов, то какова вероятность, что какое-нибудь из писем попадёт в свой конверт? Ответ даётся выражением:

$1-{\frac {!n}{n!}}$, при этом при увеличении n вычитаемое ${\frac {!n}{n!}}$ стремится к $\lim _{n\to \infty }{!n \over n!}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=e^{-1}\approx 0.36788\ldots .$

Таким образом, ответ почти не зависит (при n≥5) от количества писем и конвертов и примерно равен константе $1-e^{-1}\approx 0{,}63212$.

Ссылки

• Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990. — С. 107—108.