Беспорядок (перестановка)

Не следует путать с Инверсия (перестановка).

В комбинаторике беспорядком называется перестановка без неподвижных точек.

Примеры

Проверка работ

Допустим, профессор дал четырем студентам (назовем их A, B, C и D) контрольную, а затем предложил им проверить ее друг у друга. Естественно, ни один студент не должен проверять свою контрольную. Сколько у профессора вариантов распределения контрольных, в которых ни одному студенту не достанется своя работа? Из всех 24-х перестановок (4!) для возврата работ, нам подходят только 9 беспорядков:

   BADC, BCDA, BDAC,
   CADB, CDAB, CDBA,
   DABC, DCAB, DCBA.

В любой другой перестановке этих 4-х элементов, как минимум один студент получает свою контрольную на проверку.

Задача о письмах

Вычисление количества беспорядков является популярной задачей в олимпиадной математике, которая встречается в разных формулировках таких как задача о беспорядке, задача о письмах, задача о встречах и т. д.

Если $n$ писем случайным образом положить в $n$ различных конвертов, то какова вероятность, что какое-то письмо попадет в свой конверт?

Ответ дается выражением

$1-\frac{!n}{n!}\approx 1-\frac{1}{e}$

Таким образом, ответ слабо зависит от количества писем и конвертов и примерно равен константе $1-\frac{1}{e}\approx 0,63212$.

Количество беспорядков

Количество всех беспорядков порядка n может быть вычислено с помощью принципа включения-исключения и дается выражением:

$!n = n!-\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}-\frac{n!}{3!}+\dots +(-1)^n\frac{n!}{n!} = \sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{n!}{k!}$

которое называется субфакториалом числа n.

Количество беспорядков $!n = d(n)$ удовлетворяет рекурсивным соотношениям

$d(n) = (n-1)[d(n-1) + d(n-2)]$

и

$d(n) = n d(n-1) + (-1)^n$

где $d(1) = 0$ и $d(2) = 1$

В виду того, что $\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{1}{k!} = \frac{1}{e}$, значение $!n$ с ростом $n$ ведет себя как $\frac{n!}{e}$. Более того, при $n>0$ его можно представить как результат округления числа $\frac{n!}{e}$.

См. также

• Парадокс дней рождения

Ссылки

• Р. Стенли Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990. — С. 107-108.