Беспорядок (перестановка)

Не следует путать с Инверсия (перестановка).

В комбинаторике беспорядком называется перестановка без неподвижных точек.

Примеры

Проверка работ

Допустим, профессор дал четырем студентам (назовем их A, B, C и D) контрольную, а затем предложил им проверить её друг у друга. Естественно, ни один студент не должен проверять свою контрольную. Сколько у профессора вариантов распределения контрольных, в которых ни одному студенту не достанется своя работа? Из всех 24-х перестановок (4!) для возврата работ, нам подходят только 9 беспорядков:

   BADC, BCDA, BDAC,
   CADB, CDAB, CDBA,
   DABC, DCAB, DCBA.

В любой другой перестановке этих 4-х элементов, как минимум один студент получает свою контрольную на проверку.

Задача о письмах

Вычисление количества беспорядков является популярной задачей в олимпиадной математике, которая встречается в разных формулировках таких как задача о беспорядке, задача о письмах, задача о встречах и т. д.

Если $n$$n$ писем случайным образом положить в $n$$n$ различных конвертов, то какова вероятность, что какое-то письмо попадет в свой конверт?

Ответ дается выражением

$1-{\frac {!n}{n!}}\approx 1-{\frac {1}{e}}$$1-{\frac {!n}{n!}}\approx 1-{\frac {1}{e}}$

Таким образом, ответ слабо зависит от количества писем и конвертов и примерно равен константе $1-{\frac {1}{e}}\approx 0,63212$$1-{\frac {1}{e}}\approx 0,63212$.

Количество беспорядков

Количество всех беспорядков порядка n может быть вычислено с помощью принципа включения-исключения и дается выражением:

$!n=n!-{\frac {n!}{1!}}+{\frac {n!}{2!}}-{\frac {n!}{3!}}+\dots +(-1)^{n}{\frac {n!}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}$$!n=n!-{\frac {n!}{1!}}+{\frac {n!}{2!}}-{\frac {n!}{3!}}+\dots +(-1)^{n}{\frac {n!}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}$

которое называется субфакториалом числа n.

Количество беспорядков $!n=d(n)$$!n=d(n)$ удовлетворяет рекурсивным соотношениям

$d(n)=(n-1)[d(n-1)+d(n-2)]$$d(n)=(n-1)[d(n-1)+d(n-2)]$

и

$d(n)=nd(n-1)+(-1)^{n}$$d(n)=nd(n-1)+(-1)^{n}$

где $d(1)=0$$d(1)=0$ и $d(2)=1$$d(2)=1$

В виду того, что $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{e}}$$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{e}}$, значение $!n$$!n$ с ростом $n$$n$ ведет себя как ${\frac {n!}{e}}$${\frac {n!}{e}}$. Более того, при $n>0$$n>0$ его можно представить как результат округления числа ${\frac {n!}{e}}$${\frac {n!}{e}}$.

См. также

• Парадокс дней рождения

Ссылки

• Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990. — С. 107-108.