Бета-распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Бета-распределение
Плотность вероятности
Probability density function for the Beta distribution
Функция распределения
Cumulative distribution function for the Beta distribution
Обозначение
Параметры
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода для
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности , имеющей вид:

,

где

  • произвольные фиксированные параметры, и
  • бета-функция.

Тогда случайная величина имеет бета-распределение. Пишут: .

Форма графика[править | править вики-текст]

Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров и .

  • — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
  • или — график строго убывающий (синяя кривая)
    • — график строго выпуклый;
    • — график является прямой линией;
    • — график строго вогнутый;
  • график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
  • или — график строго возрастающий (зелёная кривая);
    • — график строго выпуклый;
    • — график является прямой линией;
    • — график строго вогнутый;
  • — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)

В случае, когда , плотность вероятности симметрична относительно (красная и пурпурная кривые), то есть

.

Моменты[править | править вики-текст]

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , имеющей бета-распределение, имеют вид:

,
.

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]


Bvn-small.png п о р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула