Бета-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График бета-функции при вещественных аргументах

В математике бета-функцией (-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

,

определённая при , .

Бета-функция была изучена Эйлером, Лежандром [когда?], а название ей дал Жак Бине.

Свойства[править | править вики-текст]

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

.

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

,

где  — Гамма-функция;

;
;
,

где  — нисходящий факториал, равный .

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

.

Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению:

.

Тришиным получено интегральное представление

,

где интегрирование ведется по кривой , а у функций , выбираются ветви условием [1].

Производные[править | править вики-текст]

Частные производные у бета-функции следующие:

,

где  — дигамма-функция.

Неполная бета-функция[править | править вики-текст]

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку на интеграл с переменным верхним пределом:

.

При неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

.

Свойства [править | править вики-текст]

;
;
.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Павел В. Тришин, “О мероморфных решениях двумерных разностных уравнений”, Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2:3 (2009),  PDF.

Литература[править | править вики-текст]

Кузнецов Д.С. Специальные функции (1962) - 249 с.


См. также[править | править вики-текст]