Бета-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График бета-функции при вещественных аргументах

В математике бета-функцией (\Beta-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

\mathrm{\Beta}(x,y)=\int\limits_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,

определённая при \Re(x)>0, \Re(y)>0.

Бета-функция была изучена Эйлером, Лежандром [когда?], а название ей дал Жак Бине.

Свойства[править | править вики-текст]

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

 \mathrm{\Beta}(x,y)=\mathrm{\Beta}(y,x).

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

\mathrm{\Beta}(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)},

где \Gamma(x) — Гамма-функция;

\mathrm{\Beta}(x,\;y)=2\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta,\qquad\Re(x)>0,\ \Re(y)>0;
\mathrm{\Beta}(x,\;y)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,\qquad\Re(x)>0,\ \Re(y)>0;
\mathrm{\Beta}(x,\;y)=\frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)},

где (x)_n — нисходящий факториал, равный x\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot\ldots\cdot(x-n+1).

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

\mathrm{C}_n^k = \frac1{(n+1)\Beta(n-k+1,\;k+1)}.

Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению:

\mathrm{\Beta}(x,\;y)-\mathrm{\Beta}(x+1,\;y)-\mathrm{\Beta}(x,\;y+1)=0.

Тришиным получено интегральное представление

\frac{1}{\mathrm{\Beta}(x,\;y)}= \frac{e^{2\pi i(x+y)}(x+y-1)}{4\pi i}\int\limits_{\gamma}\frac{dw_1-dw_2}{w_1^x\cdot w_2^y},

где интегрирование ведется по кривой \gamma=\{w:1-w_1-w_2=0\}\cap\{w:|w_1|=|w_2|\}\subset\mathbb C^2, а у функций w_1^x, w_2^y выбираются ветви условием \arg w_i \in (-\pi, \pi)[1].

Производные[править | править вики-текст]

Частные производные у бета-функции следующие:

{\partial\over\partial x}\Beta(x,\;y)=\Beta(x,\;y)\left( {\Gamma^\prime(x)\over\Gamma(x)}-{\Gamma^\prime(x+y)\over\Gamma(x+y)}\right)=\Beta(x,\;y)(\psi(x)-\psi(x+y)),

где \psi(x) — дигамма-функция.

Неполная бета-функция[править | править вики-текст]

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку [0,1] на интеграл с переменным верхним пределом:

\Beta_x(a,\;b)=\int\limits_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.

При x=1 неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

I_x(a,\;b)=\frac{\Beta_x(a,\;b)}{\Beta(a,\;b)}.

Свойства I(x)[править | править вики-текст]

I_0(a,\;b)=0;
I_1(a,\;b)=1;
I_x(a,\;b)=1-I_{1-x}(b,\;a).
 I_x(a+1,b) = I_x(a,b)-\frac{x^a(1-x)^b}{a B(a,b)} \,

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Павел В. Тришин, “О мероморфных решениях двумерных разностных уравнений”, Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2:3 (2009),  PDF.

Литература[править | править вики-текст]

Кузнецов Д.С. Специальные функции (1962) - 249 с.


См. также[править | править вики-текст]