Бета-функция Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Бета-функция Дирихле действительного аргумента x

Бе́та-фу́нкция Дирихле́ (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана (Catalan beta function) — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Eugène Charles Catalan).

Бета-функция Дирихле определяется как[1]

или, эквивалентным образом, через интегральное представление

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера. В обоих случаях предполагается, что Re(s) > 0.

Связь с другими функциями[править | править вики-текст]

Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s:

Бета-функция Дирихле также связана с функцией Лерха (англ. Lerch transcendent),

Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s[2].

Функциональное соотношение[править | править вики-текст]

Соотношение между β(s) и β(1-s) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s)<0),

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера.

Частные значения[править | править вики-текст]

Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя

где Gпостоянная Каталана, а — частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).

В общем случае, для любого положительного целого k,

где E2kчисла Эйлера (англ. Euler numbers). Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мы имеем

то есть β(s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции)[2].

Приблизительные значения[править | править вики-текст]

s приблизительное значение β(s) OEIS
1 0.7853981633974483096156608 A003881
2 0.9159655941772190150546035 A006752
3 0.9689461462593693804836348 A153071
4 0.9889445517411053361084226 A175572
5 0.9961578280770880640063194 A175571
6 0.9986852222184381354416008 A175570
7 0.9995545078905399094963465
8 0.9998499902468296563380671
9 0.9999496841872200898213589
10 0.9999831640261968774055407

Производная бета-функции Дирихле[править | править вики-текст]

Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s) может быть вычислена аналитически[2],

(см. также OEIS A113847 и A078127).

Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы[2]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Christopher Clapham, James Nicholson. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. — Oxford University Press, 2014. — С. 138. — 544 с. — ISBN 9780199679591.
  2. 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (HTML). mathworld.wolfram.com. Проверено 10 февраля 2015.

Литература[править | править вики-текст]

  • J. Spanier & K. B. Oldham. An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
  • 'Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.