Бета-функция Дирихле

Бета-функция Дирихле действительного аргумента x

Бе́та-фу́нкция Дирихле́ (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана (Catalan beta function) — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Eugène Charles Catalan).

Бета-функция Дирихле определяется как

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\;,$

или, эквивалентным образом, через интегральное представление

$\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx\;,$

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера. В обоих случаях предполагается, что Re(s) > 0.

Связь с другими функциями

Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s:

$\beta (s)=4^{-s}\left[\zeta \left(s,{\tfrac {1}{4}}\right)-\zeta \left(s,{\tfrac {3}{4}}\right)\right]\;.$

Бета-функция Дирихле также связана с трансцендентной функцией Лерха (англ. Lerch transcendent),

$\beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right)\;.$

Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s.

Функциональное соотношение

Соотношение между β(s) и β(1-s) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s)<0),

$\beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \left({\tfrac {1}{2}}\pi s\right)\,\beta (1-s)\;,$

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера.

Частные значения

Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя

$\beta (0)\;=\;{\tfrac {1}{2}},$

$\beta (1)\;=\;{\tfrac {1}{4}}\pi ,$

$\beta (2)\;=\;G,$

$\beta (3)\;=\;{\tfrac {1}{32}}\pi ^{3},$

$\beta (4)\;=\;{\tfrac {1}{768}}\left[\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right],$

$\beta (5)\;=\;{\tfrac {5}{1536}}\pi ^{5},$

$\beta (7)\;=\;{\tfrac {61}{184320}}\pi ^{7},$

$\beta (9)\;=\;{\tfrac {1385}{41287680}}\pi ^{9},$

где G — постоянная Каталана, а ${\textstyle {\psi _{3}({\frac {1}{4}})}}$ — частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).

В общем случае для любого положительного целого k

$\beta (2k)={\frac {1}{2^{4k}(2k-1)!}}\left[\psi _{2k-1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{2k-1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right],$

$\beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},$

где $\psi _{2k-1}(z)\equiv \psi ^{(2k-1)}(z)$ — полигамма-функция порядка (2k-1), а E_2k — числа Эйлера.

Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мы имеем

$\beta (-2k)={\tfrac {1}{2}}E_{2k}\;,$

$\beta (-2k-1)=0\;,$

то есть β(s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции).

Приблизительные значения

s	приблизительное значение β(s)	OEIS
1	0.7853981633974483096156608	A003881
2	0.9159655941772190150546035	A006752
3	0.9689461462593693804836348	A153071
4	0.9889445517411053361084226	A175572
5	0.9961578280770880640063194	A175571
6	0.9986852222184381354416008	A175570
7	0.9995545078905399094963465
8	0.9998499902468296563380671
9	0.9999496841872200898213589
10	0.9999831640261968774055407

Производная бета-функции Дирихле

Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s) может быть вычислена аналитически,

$\beta ^{\prime }(-1)={\frac {2G}{\pi }}\;,$

$\beta ^{\prime }(0)=\ln \left({\frac {\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{4}})}{2\pi {\sqrt {2}}}}\right)\;,$

$\beta ^{\prime }(1)={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)\;,$

(см. также OEIS A113847 и A078127).

Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы

$\beta ^{\prime }(n)=-\sum _{k=1}^{\infty }\ln \left({\frac {(4k+1)^{1/(4k+1)^{n}}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^{n}}}}\right)\;.$

См. также

• Дзета-функция Римана
• Постоянная Каталана
• Дзета-функция Гурвица

Литература

• J. Spanier & K. B. Oldham. An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
• Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.