Бинарная операция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Бина́рная, или двуме́стнаяопера́ция (от лат. bi «два») — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Определение[править | править код]

Пусть  — тройка непустых множеств. Бинарной операцией, или бинарной функцией, на паре со значениями в называется отображение .

Пусть  — непустое множество. Бинарной операцией на множестве , или внутренней бинарной операцией, называют отображение .

Первое определение соответствует франкоязычной традиции, второе — англоязычной. Чаще всего рассматриваются именно внутренние бинарные операции.

Также имеется близкое понятие закона композиции, объединяющее внутренние бинарные операции (внутренние законы композиции) с бинарными операциями вида или (внешними законами композиции).

Замечание[править | править код]

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции результат её применения к двум элементам и записывается в виде .

При этом, однако, используются другие формы записи бинарных операций, а именно:

Типы бинарных операций[править | править код]

Коммутативная операция[править | править код]

Бинарная операция называется коммутативной, только когда её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

Ассоциативная операция[править | править код]

Бинарная операция называется ассоциативной, только когда

Для ассоциативной операции результат вычисления не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение при однозначно не определено.

Существует также более слабое, чем ассоциативность, свойство: альтернативность.

Примеры[править | править код]

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи[править | править код]

Мультипликативная запись[править | править код]

Если абстрактную бинарную операцию на называют умноже́нием, то её результат для элементов называют их произведе́нием и обозначают или . В этом случае нейтральный элемент , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись[править | править код]

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов называют су́ммой и обозначают . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

Обратная операция[править | править код]

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции существует не более одного нейтрального элемента, то есть два любых нейтральных элемента на самом деле оказываются совпадающими.

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.