Биномиальная модель оценивания опционов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Биномиальная модель оценивания опционов является широко распространенным и с точки зрения прикладной математики достаточно простым и очевидным численным методом расчета цены американского опциона. Под ценой опциона колл мы понимаем сумму денег, которую должен уплатить сегодня покупатель опциона за право купить в некий будущий момент времени акцию по некоторой заданной цене. Аналогично для опциона пут ценой является сумма денег, которую должен уплатить сегодня покупатель опциона за право продать в некий будущий момент времени акцию по некоторой заданной цене. Указанный выше будущий момент называется моментом исполнения (экспирации) опциона. Очевидно, что в момент экспирации цены опционов колл и пут равняются:

(1)

Где

S — стоимость акции в момент экспирации;
K — заранее известная цена, по которой покупается (колл) или продается (пут) акция, т. н. страйк.

В момент покупки опциона цена акции в момент экспирации неизвестна. Предполагается, что эта цена является реализацией, значением, некоей случайной величины, а цена опциона является математическим ожиданием известной, вышеприведенной функции, описывающей цену опциона в момент экспирации с учетом дискаунта. Если обозначить через p(S) плотность распределения этой случайной величины, то цены европейских опционов колл и пут без учета дискаунта можно вычислить по формулам:

(2)

Таким образом, единственное, что надо знать для вычисления цены опционов — это плотность распределения будущей цены. К сожалению, это единственное не является таким уж маленьким и простым. Блэк и Шоулз постулировали, что распределение цены акции является лог-нормальным, то есть логарифм цены акции имеет нормальное распределение. Это предположение лежит в основе всей современной теории опционов. Таким образом, в соответствии с гипотезой Блэка-Шоулза плотность распределения будущей цены акции имеет вид:

(3)

Где

-математическое ожидание логарифма цены акции;
-среднеквадратическое отклонение логарифма цены акции;

Из предыдущих формул следует, что цены опционов без учета дискаунта равняются:

(4)

где:

 — известная функция Лапласа, кумулятивная функция нормального распределения.

Предположение о том, что будущая цена акции описывается лог-нормальным распределением следует из более общего предположения о том, что процесс изменения цены акции во времени является диффузионным процессом с двумя постоянными параметрами: сдвигом и диффузией , называемой в финансах волатильностью, то есть справедливо уравнение:

(5)
где:
 — Винеровский процесс с единичной дисперсией.
 — безрисковая процентная ставка
 — дивидендная процентная ставка
В соответствии с формулой Ито удовлетворяет уравнению:
(6)
Из этой формулы непосредственно следует, что в момент времени t от покупки опциона является нормальной величиной, математическое ожидание и средне-квадратическое отклонение которой равняются:
(7)
где:
 — известная цена акции в момент покупки опциона.
Как известно, математическое ожидание любой функции от времени и траектории диффузионного процесса удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению в частных производных:
(8)

Следует иметь в виду, что в уравнении (8) время отсчитывается не от того момента, когда заключается сделка, а от момента экспирации. Решением уравнения (8) с начальными условиями (1) являются уравнения (4), в которых подставлены соответствующие параметры из уравнений (7). Эти решения являются хорошо известными формулами Блэка-Шоулза, позволющими вычислить цены европейского Кола и Пута при очевидном учете дискаунта, то есть после умножения на . Для численного решения уравнения (8) можно воспользоваться соответствующей разностной схемой. В простейшем случае первая и вторая частные производные аппроксимируются следующими конечными разностями:

(9)

Подставив формулы (9) в (8), получим следующую расчетную формулу, позволяющую перейти от времени к :

(10)

Отметим, что формула (10) относится к т.н. явным разностным схемам, в которых значения функции на последующем слое находится непосредственно по значениям на предыдущем слое. В т.н. неявных схемах для нахождения значений функции на последующем слое приходится решать систему линейных уравнений. Преимуществом явной схемы является уменьшенное по сравнению с неявной количество вычислений. Недостаток заключается в том, что такая схема может оказаться неустойчивой, что и происходит, например, при использовании биномиального метода для опционов с барьерами. Для реализации (10) необходимо выбрать два параметра: шаг по времени и шаг по пространству . В биномиальном методе выбирается лишь шаг по времени. Точнее выбирается количество шагов n от 0 до времени экспирации, а шаг по времени равняется:

(11)

Шаг по пространству выбирается таким образом, что для перехода от предыдущего шага к последующему использовались не три значения функции, а лишь два. Собственно метод и называется «биномиал» из-за этого обстоятельства. Для этого принимается, что:

Из этой формулы следует, что шаг по пространству равняется:

(12)

С учетом (12) схема вычислений (10), реализованная в биномиале имеет вид:

(13)

Формула (13) получена без каких-либо вероятностных соображений, исходя из хорошо известных методов численного решения дифферециальных уравнений в частных производных. Однако её легко можно интерпретировать на языке теории вероятности. Действительно, из формулы (13) следует, что цена опциона в последующий момент времени является математическим ожиданием цен опциона в двух соседних узлах сетки, ниже на один шаг и выше на один шаг. Вероятности перехода от этих узлов вверх и вниз являются соответствующими коэффициентами в формуле (13). То есть

(14)

Если определять пространственные узлы не по логарифмам цен акций, а по самим ценам, то верхние и нижние значения цен акций связаны со значением, откуда происходит движение зависимостями:

(15)

Интересно отметить, насколько искусственно и непросто выводятся формулы (14) и (15), составляющие основу биномиального метода, в т. н. финансовой математике, и, в частности, в работах авторов метода. Отметим также, что в соответствии с формулой (13) в биномиальном методе используется не вся прямоугольная сетка с узлами по времени и пространстве, а т. н. треугольное дерево, в основании которого лежит момент времени, для которого и вычисляется цена опциона, а на каждом временном шаге значения функции считаются лишь в половине пространственных узлов. Очевидно, что рассмотренную схему вычислений можно использовать и для европейского опциона. Но поскольку в этом случае имеется явная аналитическая формула (Блэка-Шоулза), делать это нецелесообразно. В случае американского опциона после получения значения цены опциона по формуле (13) производится сравнение его со значением, полученным при ранней экспирации, то есть разности цены акции и страйка для колла и разности страйка и цены акции для пута. В случае превышения этими разностями цены опциона, последняя заменяется соответствующей разностью.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Саймон Вайн. Опционы. Полный курс для профессионалов. — М.: Альпина Паблишер, 2008. — 466 с. — ISBN 978-5-9614-0855-3.