Биссектриса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Биссектриса AD делит пополам угол A

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла[1]. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам..

Замечание[править | править вики-текст]

Incircle and Excircles.svg
  • В любом треугольнике ABC, кроме внутренней или просто биссектри́сы, можно провести и внешние биссектри́сы, то есть биссектрисы углов, смежных с внутренними углами треугольника. При этом внутренняя и внешняя биссектриса одного и того же угла перпендикулярны.
  • Проведение в данном треугольнике всех трех его внешних биссектри́с до их точек пересечения друг с другом в центрах вневписанных окружностей (соответственно J_1, J_2, J_3) образует новый треугольник (см. рис.) - треугольник трёх внешних биссектрис. Новый треугольник центров вневписанных окружностей с вершинами J_1, J_2, J_3, которые касаются соответственно сторон a, b, c исходного треугольника.
  • Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
  • Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника \Delta J_1J_2J_3
  • Точка пересечения симедиан треугольника, образованного центрами его вневписанных окружностей J_1, J_2, J_3 , является центром эллипса Мандарта M. По-английски эту точку называют "mittenpunkt", по-немецки - "middlespoint". Она открыта в 1836-ом году Христианом Генрихом фон Нагелем (Christian Heinrich von Nagel) идентифицирована, как .[2][3]

Свойства[править | править вики-текст]

Построение биссектрисы

Свойства точек пересечения биссектрис[править | править вики-текст]

  • Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке  — центре вписанной в этот треугольник окружности.
  • Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
  • Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
  • Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же - инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.

Свойства, связанные с углами[править | править вики-текст]

  • Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
  • Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
  • Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника[править | править вики-текст]

  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
  • Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
  • В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
  • Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной стороне - основанию, если треугольник равнобедренный.
  • У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
  • У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.

Свойства оснований биссектрис[править | править вики-текст]

  • Точка пересечения биссектрисы со стороной треугольника называется основанием биссектрисы.
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} или \frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}.
  • Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (т. е. делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} или \frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}
  • Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне - основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
  • Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
  • Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис .[4]

Свойства осей биссектрис[править | править вики-текст]

  • Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис.
  • Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Обера четырёхсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис.

Другие свойства[править | править вики-текст]

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.
  • Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно,[5] причём даже при наличии трисектора.[6]

Длина биссектрис в треугольнике[править | править вики-текст]

Биссектриса Треугольника ABC

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}=\frac{2 \sqrt{abp(p-c)}}{a+b}, где p - полупериметр.
l_c = \sqrt{ab-a_lb_l}
l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
l_c = \frac {h_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}}

Для трех биссектрис углов A, B и C с длинами соответсвенно l_a, l_b, и l_c, справедлива формула [7]

\frac{(b+c)^2}{bc}l_a^2+ \frac{(c+a)^2}{ca}l_b^2+\frac{(a+b)^2}{ab}l_c^2 = (a+b+c)^2.,
w_c^2=a_w \cdot b_w-ab=CE^2=BE \cdot AE-ab,
  • Инцентр (точка пересечения трех внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла A в отношении \frac{b+c}{a}, где a, b, c — стороны треугольника,

где:

  • a, b, c — стороны треугольника против вершин A, B, C соответственно,
  • \alpha, \beta, \gamma — внутренние углы треугольника при вершинах A, B, C соответственно,
  • h_cвысота треугольника, опущенная на сторону c.
  • l_c — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне c,
  • a_l, b_l — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса l_c делит сторону c,
  • w_c — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины C к продолжению стороны AB.
  • a_w, b_w — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса w_c делит сторону c=AB и ее продолжение до основания самой биссектрисы.

Длина частей биссектрис в треугольнике[править | править вики-текст]

  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно l_{c0}=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}= \sqrt{(p-c)^2 + r^2}= \sqrt{ab - 4Rr}, где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, а γ — угол вершины C.
  • Формулы последнего пункта по сути дают длину части биссектрисы от вершины до точки их пересечения (до центра вписанной окружности или до инцентра).
  • Эту формулу и формулу для второй части внутренней биссектрисы можно также найти на основе следующего факта:
  • Инцентр (точка пересечения трех внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла A в отношении \frac{b+c}{a}, где a, b, c — стороны треугольника.

Мнемоническое правило[править | править вики-текст]

  • Биссектриса – это крыса, которая бегает по углам, и делит угол пополам.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Биссектриса // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. Kimberling, Clark (1994), "«Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle»", Mathematics Magazine Т. 67 (3): 163–187, DOI 10.2307/2690608 .
  3. v. Nagel, C. H. (1836), «Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise», Leipzig .
  4. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 105.
  5. Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  6. Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  7. Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115-116.

Литература[править | править вики-текст]

  • Коган Б. Ю. Приложение механики к геометрии. — М.: Наука, 1965. — 56 с.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0.