Биссектриса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Биссектриса AD делит пополам угол A

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла[1]. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

Замечание[править | править вики-текст]

Incircle and Excircles.svg
  • В любом треугольнике , кроме внутренней или просто биссектри́сы, можно провести и внешние биссектри́сы, то есть биссектрисы углов, смежных с внутренними углами треугольника. При этом внутренняя и внешняя биссектриса одного и того же угла перпендикулярны.
  • Проведение в данном треугольнике всех трех его внешних биссектри́с до их точек пересечения друг с другом в центрах вневписанных окружностей (соответственно ) образует новый треугольник (см. рис.) - треугольник трёх внешних биссектрис. Это - новый треугольник центров вневписанных окружностей с вершинами , которые касаются соответственно сторон исходного треугольника.
  • Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
  • Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника
  • Точка пересечения симедиан треугольника, образованного центрами его вневписанных окружностей , является центром эллипса МандАра. Эту точку называют по-английски middlespoint, по-немецки - "mittenpunkt". Она открыта в 1836-ом году Христианом Генрихом фон Нагелем (Christian Heinrich von Nagel) идентифицирована, как .[2][3]

Свойства[править | править вики-текст]

Построение биссектрисы

Свойства точек пересечения биссектрис[править | править вики-текст]

  • Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке  — центре вписанной в этот треугольник окружности.
  • Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
  • Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
  • Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же - инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.

Свойства, связанные с углами[править | править вики-текст]

  • Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
  • Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
  • Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника[править | править вики-текст]

  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
  • Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
  • В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
  • Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной стороне - основанию, если треугольник равнобедренный.
  • У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
  • У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.

Свойства оснований биссектрис[править | править вики-текст]

  • Точка пересечения биссектрисы со стороной треугольника называется основанием биссектрисы.
или .
  • Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (т. е. делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть или .
  • Теорема о биссектрисе - частный случай теоремы Штейнера.
  • Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне - основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
  • Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
  • Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис .[4]

Свойства осей биссектрис[править | править вики-текст]

Другие свойства[править | править вики-текст]

Длина биссектрис в треугольнике[править | править вики-текст]

Биссектриса Треугольника ABC

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

, где - полупериметр.

Для трех биссектрис углов A, B и C с длинами соответственно и , справедлива формула [8]

,
,
  • Инцентр (точка пересечения трех внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла в отношении , где , , — стороны треугольника,

где:

  • — стороны треугольника против вершин соответственно,
  • — внутренние углы треугольника при вершинах соответственно,
  • высота треугольника, опущенная на сторону .
  •  — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне ,
  • — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса делит сторону ,
  • — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины к продолжению стороны .
  • — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса делит сторону и её продолжение до основания самой биссектрисы.
  • Если медиана m, высота h и внутренняя биссектриса t выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R, тогда [9]:p.122,#96

Длина частей биссектрис в треугольнике[править | править вики-текст]

  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно , где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, а γ — угол вершины C.
  • Формулы последнего пункта по сути дают длину части биссектрисы от вершины до точки их пересечения (до центра вписанной окружности или до инцентра).
  • Эту формулу и формулу для второй части внутренней биссектрисы можно также найти на основе следующего факта:
  • Инцентр делит внутреннюю биссектрису угла в отношении , где , , — стороны треугольника.

Мнемоническое правило[править | править вики-текст]

  • Биссектриса – это крыса, которая бегает по углам, и делит угол пополам.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Биссектриса // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. Kimberling, Clark (1994), "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle", Mathematics Magazine Т. 67 (3): 163–187, DOI 10.2307/2690608 .
  3. v. Nagel, C. H. (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise, Leipzig .
  4. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 105.
  5. Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  6. Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  7. Стариков В.Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100.
  8. Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115-116.
  9. Ошибка в сносках?: Неверный тег <ref>; для сносок Altshiller-Court не указан текст

Литература[править | править вики-текст]

  • Коган Б. Ю. Приложение механики к геометрии. — М.: Наука, 1965. — 56 с.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0.