Биэллиптическая переходная орбита

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Биэллиптическая переходная орбита — в космонавтике и аэрокосмической технике орбита манёвра, при котором космический аппарат переходит с одной орбиты на другую. В некоторых случаях биэллиптический переход требует меньшей характеристической скорости дельта-v, чем перелёт по гомановскому эллипсу.

Биэллиптическая орбита состоит из двух половин эллиптических орбит. Сначала космическому аппарату, находящемуся на начальной орбите, придаётся определённая дельта-v для перехода на первую часть биэллиптической орбиты с апоцентром в некоторой точке на расстоянии от центрального тела. В этой точке аппарату также придаётся некоторая дельта-v для перехода на второй участок биэллиптической орбиты с перицентром на расстоянии, равном радиусу итоговой желаемой орбиты. В точке перицентра в третий раз аппарату придаётся некоторая дельта-v, в результате аппарат переходит на требуемую орбиту.[1]

Биэллиптические перелёты обычно требуют больше топлива и времени, чем гомановские, но некоторые биэллиптические траектории требуют меньшей суммарной дельта-v, чем гомановская траектория, в случае отношения больших полуосей конечной и начальной траектории, превышающего 11,94, в зависимости от большой полуоси промежуточной орбиты.[2]

Идея биэллиптической переходной орбиты была впервые представлена в статье Ари Штернфельда в 1934 году.[3]

Вычисления[править | править код]

Дельта-v[править | править код]

Биэллиптическая траектория перехода с низкой круговой орбиты (тёмно-синий цвет) на более высокую круговую орбиту (красный цвет).

Три значения изменения скорости можно получить непосредственно из интеграла энергий,

где

  •  — скорость аппарата на орбите,
  •  — гравитационный параметр притягивающего тела,
  •  — расстояние от притягивающего центра до тела на орбите,
  •  — большая полуось орбиты тела.

В рассматриваемой задаче

  •  — радиус начальной круговой орбиты,
  •  — радиус финальной круговой орбиты,
  •  — радиус общего апоцентра двух эллиптических участков переходной орбиты, свободный параметр манёвра,
  • и равны большим полуосям эллиптических участков переходной орбиты, задаются равенствами
  •  :
  •  :

При старте с начальной круговой орбиты радиуса (тёмно-синяя окружность на рисунке), добавление скорости по направлению движения (вектор в положении 1 на рисунке) переводит космический аппарат на первый эллиптический участок орбиты перехода (бирюзовая линия). Величина необходимой дельта-v равна

Когда апоцентр первого эллиптического участка достигается на расстоянии , аппарату второй раз придаётся дополнительная скорость по направлению движения (вектор в положении 2 на рисунке), в результате на новой эллиптической орбите (оранжевая кривая) перицентр находится в точке касания итоговой круговой орбиты. Величина требуемой для перехода на эту часть переходной орбиты равна

Наконец, когда достагется финальная круговая орбита радиуса , аппарату придаётся вектор скорости против движения по орбите (вектор в положении 3 на рисунке) для перехода на итоговую круговую орбиту (красная окружность). Финальная добавка скорости равна

Если , то манёвр преобразуется в гомановскую траекторию (в этом случае равно нулю). Следовательно, биэллиптическая орбита представляет более общий тип траектории, чем гомановская.

Бипараболическая орбита перехода с низкой круговой орбиты (синий цвет) на более высокую круговую орбиту (красный цвет).

Максимальная экономия в смысле добавочной скорости может быть вычислена в предположении ,тогда полное значение принимает вид .

В таком случае переход называется бипараболическим, поскольку оба участка траектории являются не эллипсами, а параболами. Время перелёта также стремится к бесконечности.

Время перелёта[править | править код]

Как и в случае гомановского перелёта, обе части траектории, используемой в биэллиптическом перелёте, являются в точности половинами эллипсов. Это означает, что время, необходимое для преодоления каждой фазы перехода, является половиной орбитального периода для каждого эллипса.

Используем уравнение для орбитального периода и указанные выше обозначения:

Полное время перелёта является суммой промежутков времени для каждой из половин эллипсов, следовательно

Итоговый интервал времени:

Сравнение с гомановской траекторией[править | править код]

Дельта-v[править | править код]

Дельта-v, необходимая для гомановской (чёрная кривая) и биэллиптической траекторий (цветные кривые) между двумя круговыми орбитами как функция отношения их радиусов.

Рисунок показывает полное значение , требуемое для перехода с круговой орбиты радиуса на другую круговую орбиту радиуса . Величина нормирована на орбитальную скорость начальной орбиты, и представлена в виде функции отношения радиусов конечной и начальной орбиты ; таким образом, сопоставление величин является общим, не зависящим от и по отдельности, а только от их отношения.[2]

Чёрная кривая показывает значение для гомановской траектории, цветные кривые соответствуют биэллиптическим траекториям с различными значениями параметра , определённого как расстояние апоцентра биэллиптической орбиты, делённое на радиус начальной орбиты, и указанного рядом с кривыми. На врезке крупным планом показана область, где кривые для биэллиптических траекторий пересекают кривую для гомановской орбиты первый раз.

Можно заметить, что гомановский перелёт является более эффективным при отношении радиусов меньшем 11,94. С другой стороны, если радиус итоговой орбиты более чем в 15,58 раз превышает радиус начальной орбиты, то любой биэллиптический переход вне зависимости от апоцентрического расстояния (оно должно всё же превышать радиус итоговой орбиты) требует меньшую чем гомановская траектория. В области от 11,94 до 15,58 эффективность той или иной орбиты зависит от апоцентрического расстояния . Для заданного в этом диапазоне существует значение , выше которого предпочтительна биэллиптическая траектория и ниже которого предпочтительна гомановская траектория. В следующей таблице указаны значения для некоторых случаев.[4]

Минимум таков, что для биэллиптической траектории необходимо меньшее .[5]
Отношение радиусов орбит, Минимум Комментарий
0 — 11,94 - Гомановский перелёт лучше
11,94 Бипараболическая траектория
12 815,81
13 48,90
14 26.10
15 18,19
15,58 15,58
более 15,58 более Любая биэллиптическая траектория лучше

Время перелёта[править | править код]

Длительное время перелёта по биэллиптической орбите

является существенным недостатком такого орбитального манёвра. В случае бипараболической траектории время перелёта становится бесконечным.

Гомановский перелёт обычно требует меньше времени, поскольку движение происходит только по половине эллипса переходной орбиты:

Пример[править | править код]

Для перехода с низкой круговой орбиты радиуса r0=6700 км вокруг Земли на новую круговую орбиту радиуса r1=93800 км при использовании гомановской траектории потребуется Δv, равное 2825.02+1308.70=4133.72 м/с. Поскольку r1=14r0 >11,94r0, то биэллиптическая траектория позволит затратить меньшую Δv. Если космическому аппарату сначала придать дополнительную скорость 3061,04 м/с, переведя таким образом на эллиптическую орбиту с апогеем при r2=40r0=268000 км, а затем в апогее придать еще 608,825 м/с для достижения новой орбиты с перигеем на расстоянии r1=93800 км, и в конце манёвра в перицентре второго участка переходной орбиты уменьшить скорость на 447,662 м/с, переведя аппарат на итоговую орбиту, то полное значение Δv будет равно 4117,53 м/с, что на 16,19 м/с (0,4 %) меньше, чем при гомановской траектории.

Уменьшение значения Δv можно усилить при увеличении промежуточного апогея, увеличив при этом время перелёта. Например, при апогее 75,8r0=507688 км (в 1,3 раза превышает среднее расстояние от Земли до Луны) уменьшение Δv относительно гомановской траектории составит 1 %, но перелёт займёт 17 суток. В случае крайне большого расстояния в апоцентре, 1757r0=11 770 000 км (в 30 раз превышает среднее расстояние от Земли до Луны) экономия составит 2 % по сравнению с гомановской орбитой, но перелёт займёт 4,5 года (без учёта гравитационных возмущений от других тел Солнечной системы). Для сравнения, перелёт по гомановской траектории займёт 15 часов 34 минуты.

Δv для различных вариантов перелёта
Тип Траектория Гомана Биэллиптическая траектория
Апогей, км 93800 268000 507688 11770000
Добавка скорости 1 (м/с) 2825,02 3061,04 3123,62 3191,79 3194,89
Добавка скорости 2 (м/с) 1308,70 608,825 351,836 16,9336 0
Добавка скорости 3 (м/с) 0 -447,662 -616,926 -842,322 -853,870
Суммарное значение (м/с) 4133,72 4117,53 4092,38 4051,04 4048,76
В процентах 100 % 99,6 % 99,0 % 98,0 % 97,94 %
  • Δv направлено в сторону движения
  • (отрицательное значение) Δv направлено против движения

На биэллиптической орбите большая часть Δv передаётся в первый момент, что вносит большой вклад в орбитальную энергию тела.

Примечания[править | править код]

  1. Curtis, Howard. Orbital Mechanics for Engineering Students. — Elsevier, 2005. — P. 264. — ISBN 0-7506-6169-0.
  2. 1 2 Vallado, David Anthony. Fundamentals of Astrodynamics and Applications. — Springer, 2001. — P. 318. — ISBN 0-7923-6903-3.
  3. Sternfeld, Ary J.[sic] (1934-02-12), "Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps attractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée", Comptes rendus de l'Académie des sciences (Paris) Т. 198 (1): 711–713, <http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31506/f711.image.langEN> 
  4. Gobetz, F. W.; Doll, J. R. (May 1969). “A Survey of Impulsive Trajectories”. AIAA Journal. American Institute of Aeronautics and Astronautics. 7 (5): 801—834. DOI:10.2514/3.5231.
  5. Escobal, Pedro R. Methods of Astrodynamics. — New York : John Wiley & Sons, 1968. — ISBN 978-0-471-24528-5.