Бордизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
«Штаны» — бордизм между окружностью и парой окружностей

Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше[источник не указан 1082 дня] говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.

Неориентированные бордизмы[править | править вики-текст]

Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых -мерных многообразия и бордантны (ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное -мерное многообразие (называемое плёнка), край которого состоит из двух многообразий и , (или точнее многообразий и диффеоморфных, соответственно, и посредством некоторых диффеоморфизмов и ). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятёрке ).

Множество классов бордизмов -мерных многообразий образует абелеву группу относительно несвязного объединения, называемую группой бордизмов. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия:  — ограничивающее многообразие,  — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (так как объединение двух копий диффеоморфно границе прямого произведения ). Прямая сумма групп является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.

Бордизмы с дополнительной структурой[править | править вики-текст]

Ориентированные бордизмы[править | править вики-текст]

Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия и ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причём плёнка ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией на и (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах и , соответственно, в исходную ориентацию и в ориентацию, противоположную исходной ориентации . Аналогично , и вводятся группы ориентированных бордизмов и кольцо .

Другие варианты[править | править вики-текст]

Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (называемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, -бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д. Особое положение занимают бордизмы слоений и -бордизмы (ранее называемые -эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.

Свойства[править | править вики-текст]

История[править | править вики-текст]

Первый пример — бордизм оснащённых многообразий, введённый в 1938 году Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер , и таким путём смог найти и . Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951—53 годах Рохлиным, вычислившим для . Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа. Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.

Литература[править | править вики-текст]

  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1972. — 280 с.

См. также[править | править вики-текст]