Вариация Фреше

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вариация Фреше — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного.

Определение[править | править вики-текст]

Вариация Фреше определяется как:

где  — действительнозначная функция, заданная на -мерном параллелепипеде

 — произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями такими, что

, и ,
где , .

 — шаг разбиения;

() — приращение функции по -ой координате;

 — обобщённое приращение функции по первым координатам ();

() произвольным образом.

Применение[править | править вики-текст]

Если , то говорят, что функция имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на . Класс всех таких функций обозначается через .

При этот класс был введён М. Фреше[1] в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала в пространстве непрерывных на квадрате функций вида . Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде

где , .

Позднее было показано, что для -периодических функций класса () справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье[2]. Так, например, если , , то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции в каждой точке сходятся к числу

где суммирование распространяется на все возможных комбинаций знаков . При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Frechet М. Transactions of the American Mathematical Society. — 1915. — v. 16. — № 3. — p. 215—234.
  2. Morse M., Transue W. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. — 1949. — v. 35. — № 7. — p. 395—399.