Вариация (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Вариация (от лат. variation — перемена, изменение) — термин, введённый в математику Ж. Л. Лагранжем в 1762 году в работе «Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines»[1] для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала.

Понятие «вариация» было введено в рамках метода вариаций исследования экстремальных задач, основанного на малых смещениях аргумента и изучения того, как в зависимости от них изменяются функционалы. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум (отсюда и название раздела математики, изучающего данную проблематику — «Вариационное исчисление»).

Связанные определения[править | править код]

Рассмотрим некоторое пространство , на котором задан функционал , и  — пространство некоторых параметров. Под вариацией аргумента , понимают обычно кривую , где при , и , в пространстве , проходящую через в определенной близости от ограничений, причём соответствует значение . Таким образом, когда пробегает множество всех параметров, вариации пробегают определённое семейство кривых, исходящих из точки .

В конечномерном и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы Ж. Лагранжа, обычно применяются вариации по направлениям, когда и . В этом случае вариацией называется вектор . Но это не единственный случай вариаций, так в геометрии, в вариационном исчислении и в особенности в теории оптимального управления применяются, например, ломаные вариации, игольчатые вариации[2], вариации, связанные со скользящими режимами[3].

Выбор пространства вариаций и построение самих вариаций является важнейшим элементом для получения необходимых условий экстремума.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Lagrange J. Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines. Turin, 1762
  2. Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. — пер. с англ. — М., 1950
  3. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов. — 2 изд. — М., 1969