Векторный оператор Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ве́кторный опера́тор Лапла́са (или ве́кторный лапласиа́н) — это векторный дифференциальный оператор второго порядка, определённый над векторным полем и обозначаемый символом [1][2], аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах, получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного Лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.

Поскольку векторный и скалярный лапласианы обозначаются одним и тем же символом, большой греческой буквой дельта, но являются разными математическими объектами, в рамках данной статьи векторный лапласиан обозначается черным цветом, а скалярный лапласиан — синим.

Определение[править | править вики-текст]

Векторный оператор Лапласа векторного поля определяется следующим образом:

[3].
.

В декартовых координатах векторный лапласиан векторного поля можно представить в виде вектора, компонентами которого являются скалярные лапласианы компонент векторного поля :

[1],

где , , — компоненты векторного поля .

Выражения для векторного оператора Лапласа в других системах координат можно найти в статье «Оператор набла в различных системах координат».

Обобщение[править | править вики-текст]

Лапласиан любого тензорного поля (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:

.

В случае если — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.

Если — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:

,

где (общий вид компоненты тензора), и могут принимать значения из множества .

Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:

.

Данное выражение зависит от системы координат.

Использование в физике[править | править вики-текст]

Примером использования векторного оператора Лапласа являются уравнения Навье — Стокса для идеальной несжимаемой жидкости[4]:

,

где слагаемое с векторными оператором Лапласа от поля скоростей представляет собой вязкость жидкости.

Литература[править | править вики-текст]

  • Хмельник С.И. Уравнения Навье-Стокса существование и метод поиска глобального решения. — Израиль: MiC, 2010. — 106 с. — ISBN 978-0-557-48083-8.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Хмельник, 2010, Приложение 1.
  2. В отличие от скалярного оператора Лапласа, векторный оператор Лапласа не может обозначаться как квадрат оператора набла, поскольку он не является ни векторным, ни скалярным произведением оператора набла самого на себя:
    ,
    .
  3. Weisstein, Eric W. Vector Laplacian (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Хмельник, 2010, Глава 2.