Векторный оператор Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ве́кторный опера́тор Лапла́са (или ве́кторный лапласиа́н) — это векторный дифференциальный оператор второго порядка, определённый над векторным полем и обозначаемый символом \Delta[1][2], аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах, получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного Лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.

Поскольку векторный и скалярный лапласианы обозначаются одним и тем же символом, большой греческой буквой дельта, но являются разными математическими объектами, в рамках данной статьи векторный лапласиан обозначается черным цветом, а скалярный лапласиан — синим.

Определение[править | править вики-текст]

Векторный оператор Лапласа векторного поля \mathbf{A} определяется следующим образом:

 \Delta \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) [3].
 \Delta \mathbf{A} = \mathrm{grad}(\mathrm{div} \mathbf{A}) - \mathrm{rot} (\mathrm{rot} \mathbf{A}).

В декартовых координатах векторный лапласиан векторного поля \mathbf{A} можно представить в виде вектора, компонентами которого являются скалярные лапласианы компонент векторного поля \mathbf{A}:

 \Delta \mathbf{A} = \left\{ {\color{blue}\Delta} A_x, {\color{blue}\Delta} A_y, {\color{blue}\Delta} A_z \right\} [1],

где A_x, A_y, A_z — компоненты векторного поля \mathbf{A}.

Выражения для векторного оператора Лапласа в других системах координат можно найти в статье «Оператор набла в различных системах координат».

Обобщение[править | править вики-текст]

Лапласиан любого тензорного поля \mathbf{T} (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:

\Delta \mathbf{T} = \nabla \cdot (\nabla \mathbf{T}).

В случае если \mathbf{T} — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.

Если \mathbf{T} — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:

\nabla \mathbf{T}= \left\{ \nabla T_x, \nabla T_y, \nabla T_z \right\}=\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\
T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\
T_{zx} & T_{zy} & T_{zz} \end{bmatrix},

где T_{uv} \equiv \frac{\partial T_v}{\partial u} (общий вид компоненты тензора), u и v могут принимать значения из множества \{x,y,z\}.

Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:

 \mathbf{A} \cdot \nabla \mathbf{B} = \begin{bmatrix} A_x & A_y & A_z \end{bmatrix} \nabla \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} \cdot \nabla B_x & \mathbf{A} \cdot \nabla B_y & \mathbf{A} \cdot \nabla B_z \end{bmatrix}.

Данное выражение зависит от системы координат.

Использование в физике[править | править вики-текст]

Примером использования векторного оператора Лапласа являются уравнения Навье — Стокса для идеальной несжимаемой жидкости[4]:

\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+ ( \mathbf{v} \cdot \nabla ) \mathbf{v}\right)=\rho \mathbf{f}-\nabla p +\mu\left(\Delta \mathbf{v}\right),

где слагаемое с векторными оператором Лапласа от поля скоростей \mu\left(\Delta \mathbf{v}\right) представляет собой вязкость жидкости.

Литература[править | править вики-текст]

  • Хмельник С.И. Уравнения Навье-Стокса существование и метод поиска глобального решения. — Израиль: MiC, 2010. — 106 с. — ISBN 978-0-557-48083-8.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Хмельник, 2010, Приложение 1
  2. В отличии от скалярного оператора Лапласа, векторный оператор Лапласа не может обозначаться как квадрат оператора набла, поскольку он не является ни векторным, ни скалярным произведением оператора набла самого на себя[источник не указан 120 дней]:
    \Delta \ne \nabla \times \nabla,
    \Delta \ne \nabla \cdot \nabla.
  3. Weisstein, Eric W. Vector Laplacian (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Хмельник, 2010, Глава 2