Величина (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Величина́ — математическое понятие, описывающее объекты, для которых может быть определено отношение неравенства и смысл операции сложения, а также выполняется ряд свойств, включая аксиомы Архимеда и непрерывности. Величина является одним из основных понятий математики.

Первоначально была определена положительная скалярная величина с отношением неравенства и операцией сложения. Среди её обобщений векторы и тензоры, для которых нельзя определить отношение неравенства, «неархимедовы» величины, для которых не выполняется аксиома Архимеда. Система действительных чисел также может рассматриваться как система величин.

Скалярная величина[править | править вики-текст]

Для однородных скалярных величин устанавливается отношение неравенства и смысл операции сложения. Они обладают следующими свойствами[1]:

  1. для любых a и b имеет смысл только одно из трёх соотношений: или a=b, или a>b, или a<b;
  2. выполняется транзитивность отношений меньше и больше, то есть если a<b и b<c, то a<c;
  3. существует однозначно определённая сумма любых двух величин, то есть c=a+b;
  4. выполняется коммутативность сложения, то есть a+b=b+a;
  5. выполняется ассоциативность сложения, то есть a+(b+c)=(a+b)+c;
  6. выполняется монотонность сложения, то есть a+b>a;
  7. существует однозначно определённая возможность вычитания, то есть если a>b, то существует c, такое, что b+c=a;
  8. существует возможность деления, то есть для любого а и натурального числа n, существует b, такое, что bn=a;
  9. выполняется аксиома Архимеда, то есть для любых a и b существует натуральное n, такое, что a<nb;
  10. выполняется аксиома непрерывности.

Величина является абстрактным понятием, которое выражает категорию количества. Скалярная величина характеризуется одним числом.[2]

Обобщения понятия[править | править вики-текст]

С развитием математики смысл понятия величины подвергался обобщениям. Понятие было расширено на «нескалярные» величины, для которых определено сложение, но не определено отношение порядка. К ним относятся векторы и тензоры. Следующим расширением стал отказ от аксиомы Архимеда, или использование её с некоторыми оговорками (например, натуральность числа n для положительных скалярных величин). Такие величины используются в отвлечённых математических исследованиях[1].

Кроме того, используются постоянные и переменные величины. При рассмотрении переменных величин принято говорить, что в различные моменты времени они принимают различные числовые значения[1].

Исторический очерк[править | править вики-текст]

Евклид (III век до н. э.) ввёл понятие положительной скалярной величины, что являлось непосредственным обобщением таких конкретных понятий, как длина, площадь, объём, масса[1]. В пятой книге «Начал» сформулированы основные свойства величины (возможно, она принадлежит перу Евдокса), в седьмой книге рассматриваются числа и даётся определение величины, в десятой книге рассматриваются соизмеримые и несоизмеримые величины[3]. Древнегреческие математики развили теорию измерения величин, основанную на первых девяти свойствах величины (включая аксиому Архимеда)[1].

Род величины связан со способом сравнения объектов. Например, понятие длины вытекает из сравнения отрезков с помощью наложения: отрезки имеют одинаковую длину, если совпадают при наложении, и длина одного отрезка меньше длины другого, если при наложении первый отрезок не покрывает второй целиком. Сравнение плоских фигур приводит к понятию площади, пространственных тел — объёма[1]. Свои соображения Евклид иллюстрировал операциями с отрезками, но сам при этом рассматривает величины как абстрактные понятия. Его теория применяется к углам и времени[3].

Греческие математики рассматривали величины, которые можно было измерить линейкой с единичной длиной и циркулем[3]. Система всех длин, находящихся в рациональном отношении к единичной длине, удовлетворяет требованиям 1-9, но не охватывает систему всех длин вообще. Открытие существования несоизмеримых отрезков приписывается Пифагору (VI век до н. э.)[1]. Арабские математики рассматривали более сложные величины, в частности, решали кубические уравнения геометрическими методами[3]. Для полного определения системы положительных скалярных величин была введена аксиома непрерывности. В результате все величины системы однозначно представляются в виде a=αl, где α — положительное действительное число, а l — единица измерения[1].

Следующим этапом стало рассмотрение направленных отрезков на прямой и противоположно направленных скоростей. Если к системе положительных скалярных величин добавить нуль и отрицательные величины, то полученное обобщение, получившее название скалярной величины, является основным в механике и физике. В таком обобщении — это любое действительное число (положительное, отрицательное или равное нулю). Данное обобщение прибегает к понятию числа, но того же можно добиться изменением в формулировке свойств[1].

Декарт ввёл понятие переменной величины[2].

В XVII вещественные числа тесно ассоциировались с понятием величины, а математика считалась наукой о величинах[4].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Колмогоров А. Н. Величина // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1.
  2. 1 2 Под ред. И.Т. Фролова. Величина // Философский словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1991.
  3. 1 2 3 4 The real numbers: Pythagoras to Stevin. Архив истории математики Мактьютор. Проверено 20 июля 2014. (англ.)
  4. The real numbers: Stevin to Hilbert. Архив истории математики Мактьютор. Проверено 20 июля 2014. (англ.)

Ссылки[править | править вики-текст]