Вершинно-транзитивный граф

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории графов вершинно-транзитивным графом называется граф G, такой, что для любых двух вершин v1 и v2 графа G существует автоморфизм

f:V(G) \rightarrow V(G)\

такой, что

f(v_1) = v_2.\

Другими словами, граф вершинно-транзитивен, если его группа автоморфизма действует транзитивно относительно вершин[1]. Граф вершинно-транзитивен тогда и только тогда, когда результаты автоморфизмов его дополнения идеентичны.

Любой симметричный граф без изолированных вершин является вершинно-транзитивным, и любой вершинно-транзитивный граф является регулярным. Однако не все вершинно-транзитивные графы симметричны (например, рёбра усечённого тетраэдра), и не все регулярные графы вершинно-транзитивны (например, граф Фрухта и граф Титца[en]).

Примеры конечных графов[править | править вики-текст]

Рёбра усечённого тетраэдра формируют вершинно-транзитивный граф (одновременно и граф Кэли), не являющийся симметричным.

Множество конечных вершинно-транзитивных графов включает симметричные графы (такие как граф Петерсена, граф Хивуда и вершины и рёбра правильных многогранников). Конечные графы Кэли (такие как соединённые в куб циклы) являются вершинно-транзитивными, как и вершины и рёбра архимедова тела (хотя только два из них симметричны). Поточник, Спига и Веррет (Potočnik, Spiga, Verret) создали перепись всех связных кубических (то есть с вершинами степени 3) вершинно-транзитивных графов с числом вершин, не превышающим 1280[2].

Свойства[править | править вики-текст]

Рёберная связность вершинно-транзитивного графа равна степени d, в то время как вершинная связность будет как минимум 2(d+1)/3[3]. Если степень равна 4 или меньше, или граф также рёберно транзитивен, или граф является минимальным графом Кэли, то вершинная связность будет равна d[4].

Примеры бесконечных графов[править | править вики-текст]

Бесконечные вершинно-транзитивные графы включают:

Два счётных вершинно-транзитивных графа называются квазиизометричными[en], если отношение их функций расстояния ограничено снизу и сверху. Хорошо известная гипотеза утверждяет, что любой бесконечный вершинно-транзитивный граф квазиизоморфен графу Кэли. Контрпример был представлен Рейнхардом Дистелем (Reinhard Diestel) и Имре Лидером (Imre Leader) в 2001-м[5]. В 2005-м Эскин, Фишер и Вайт (Eskin, Fisher, Whyte) подтвердили верность контрпримера[6].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Chris Godsil, Gordon Royle Algebraic Graph Theory. — New York: Springer-Verlag, 2001. — Т. 207.
  2. Potočnik P., Spiga P. and Verret G. (2012), «Cubic vertex-transitive graphs on up to 1280 vertices», Journal of Symbolic Computation 
  3. Godsil, C. and Royle, G. Algebraic Graph Theory. — Springer Verlag, 2001.
  4. Babai, L. Technical Report TR-94-10. — University of Chicago, 1996.[1]
  5. Reinhard Diestel, Imre Leader A conjecture concerning a limit of non-Cayley graphs // Journal of Algebraic Combinatorics. — 2001. — В. 1. — Т. 14. — С. 17–25. — DOI:10.1023/A:1011257718029
  6. Alex Eskin, David Fisher, Kevin Whyte Quasi-isometries and rigidity of solvable groups. — 2005.

Ссылки[править | править вики-текст]