Весовая матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, весовая матрица порядка с весом — это -матрица, такая что , где транспонирование матрицы , а — единичная матрица порядка . Весовую матрицу также называют весовой схемой.

Для удобства весовую матрицу порядка и веса часто обозначают .

эквивалентна конференс-матрице, а матрице Адамара.

Свойства[править | править вики-текст]

Некоторые свойства следуют непосредственно из определения:

  • Строки весовой матрицы попарно ортогональны. Аналогично для столбцов.
  • Каждая строка и каждый столбец содержит в точности ненулевых элементов.
  • , так как из определения следует (предполагается, что вес не равен 0).
  • , где определитель матрицы .

Две весовые матрицы считаются эквивалентными, если одна может быть получена из другой, посредством ряда перестановок и умножений строк и столбцов исходной матрицы на минус единицу. Весовые матрицы полностью классифицированы для случаев, когда , а также всех случаев, когда . [1]. За исключением этого, очень мало известно о классификации циркулянтных весовых матриц.

Примеры[править | править вики-текст]

Отметим, что при отображении весовых матрицы используется символ для −1.

Приведём два примера: является весовой матрицей (матрицей Адамара), а весовой матрицей.

Открытые вопросы[править | править вики-текст]

Существует множество открытых вопросов о весовых матрицах. Главным из них является их существование: для каких чисел n и w существует W(n,w)? Многое в этом вопросе остаётся неизвестным. В равной степени важным, но часто неисследованным вопросом является их подсчёт: для заданных n и w, сколько существует матриц W(n,w)? Более глубоко, можно задаться вопросом классификации с точки зрения структуры, но на сегодняшний день это далеко выходит за рамки наших возможностей, даже для матриц Адамара или конференс-матриц.

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. M. Harada, A. Munemasa, On the classification of weighing matrices and self-orthogonal codes, 2011, http://arxiv.org/abs/1011.5382.