Весовая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.

Дискретные весовые функции[править | править вики-текст]

Общие определения[править | править вики-текст]

Дискретная весовая функция — положительная функция, определенная на дискретном множестве значений , которое обычно конечно или счётно. Весовая функция соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы множества имеют равные веса. Если функция определена на области вещественных чисел, то невзвешенная сумма на определяется как

;

в отличие от взвешенной суммы , определяемой как

.

Одни из наиболее распространенных приложений взвешенных сумм — численное интегрирование и цифровая фильтрация.

Если B — конечное подмножество множества A, классическая мощность множества |B| может быть заменена на взвешенную мощность

Если A — конечное непустое множество, можно ввести аналог среднего арифметического

в виде взвешенного среднего арифметического

В задачах многокритериальной оптимизации для перехода от множества частных значений критериев качества к единому интегральному критерию (например, стоимостному) также применяется взвешенное суммирование. Иногда [1], если диапазоны значений частных показателей качества существенно различаются (на несколько порядков), перед нахождением численного значения интегрального критерия частные показатели качества нормируются (диапазон изменения каждого из них приводится к отрезку ): , а интегральный критерий рассчитывается как , чем достигается одинаковое влияние частных критериев на результат при сопоставимых значениях весовых коэффициентов .

Статистика[править | править вики-текст]

Взвешенное среднее часто используется в статистике для компенсации предвзятости (англ. Bias). Для истинного значения , измеренного как несколько раз независимо друг от друга с дисперсиями , наилучшее приближение получается путём усреднения всех результатов измерений с весами : результирующая дисперсия оказывается меньше каждого независимого измерения . В методе максимального подобия разности взвешиваются аналогичными значениями .

Механика[править | править вики-текст]

Термин взвешенная функция возник из механики: если имеется объектов с весами (термин вес в данном случае имеет физический смысл), расположенных в точках на рычаге, рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры будет расположена в центре масс

,

который можно интерпретировать как взвешенное среднее координат .

Непрерывные весовые функции[править | править вики-текст]

В случае непрерывных величин вес — положительная мера в некотором домене , который обычно представляет собой подмножество Евклидова пространства на отрезке . Здесь мера Лебега, а — неотрицательная функция. В данном контексте весовая функция часто употребляется в понятии плотности.

Общие определения[править | править вики-текст]

Если — вещественнозначная функция, то невзвешенный интеграл

может быть дополнен взвешенным интегралом

Взвешенный объём[править | править вики-текст]

Если E — подмножество , то объём vol(E) области E может быть дополнен взвешенным объёмом

.

Взвешенное среднее[править | править вики-текст]

Если имеет конечный ненулевой взвешенный объём, то можно заменить невзвешенное среднее

на взвешенное среднее

Скалярное произведение[править | править вики-текст]

Если и — две функции, в дополнение в невзвешенному скалярному произведению

можно ввести взвешенное скалярное произведение

(См. также ортогональность)

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Ватутин Э.И. Оценка качества разбиений параллельных управляющих алгоритмов на последовательные подалгоритмы с использованием весовой функции. Материалы межрегиональной научно-технической конференции «Интеллектуальные и информационные системы» (Интеллект-2005). Тула. С. 29–30. (2005). Архивировано из первоисточника 20 апреля 2012.