Винеровский процесс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.

Определение[править | править код]

Случайный процесс , где называется винеровским процессом, если

  1. почти достоверно.
  2. процесс с независимыми приращениями.
  3. , ,

где нормальное распределение со средним и дисперсией . Величину , постоянную для процесса, далее будем считать равной .

Эквивалентное определение:

  1. гауссовский процесс.
  2. , .
  3. , .

Непрерывность траекторий[править | править код]

Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.

Свойства винеровского процесса[править | править код]

  • .
  • - мартингал. Здесь под мартингалом мы понимаем
  • Если — винеровский процесс, то и , также будет винеровским.
Демонстрация масштабной инвариантности винеровского процесса при уменьшении c.

также является винеровским процессом.

  • Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.
  • Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное.
почти наверное.

Многомерный винеровский процесс[править | править код]

Многомерный (-мерный) винеровский процесс — это -значный случайный процесс, составленный из независимых одномерных винеровских процессов, то есть

,

где процессы совместно независимы.

Связь с физическими процессами[править | править код]

Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

Ссылки[править | править код]

См. также[править | править код]