Винеровское оценивание

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Винеровское оценивание — задача нахождения импульсной характеристики линейной стационарной системы, которая минимизирует среднюю квадратическую ошибку между реальным y(t) и желаемым d(t) выходными сигналами при бесконечном времени наблюдения. На вход системы подается сигнал f(t), выходной сигнал определяется выражением .

Условия[править | править вики-текст]

Предполагается, что условия применения, характер сигналов и помех остаются достаточно стабильными, их статистические характеристики меняются мало. Если же условия переменны и помехи в процессе работы систем изменяются существенно, то возникает необходимость автоматической оптимизации параметров систем. Это осуществляется в различного рода экстремальных, адаптивных, обучаемых системах.

Решение задачи[править | править вики-текст]

Ошибка системы равна разности между желаемым и реальным выходными сигналами . Минимальная среднеквадратическая ошибка по определению равна:

=

=

.

Здесь используются обозначения для корреляционных функций:

.

Черта над формулой означает осреднение по времени. Будем считать, что оптимальная импульсная характеристика системы существует и равна .

Тогда любая отличающаяся от неё импульсная характеристика системы может быть представлена в виде

,

где  — произвольная функция времени,  — варьируемый коэффициент.

Минимум среднеквадратической ошибки отклонения достигается при . Для поиска нужно найти производную показателя качества по коэффициенту вариации и приравнять её нулю при :

=

=

=

Поскольку  — произвольная функция, последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда:

.

Это и есть уравнение Винера-Хопфа, определяющее оптимальную импульсную характеристику системы по критерию минимальной среднеквадратической ошибки. Для решения применим преобразование Лапласа к полученному уравнению. Известно, что преобразование Лапласа от свертки равно произведению преобразований Лапласа, тогда:

,

где ; ; .

Таким образом определяем оптимальный винеровский фильтр 1-го рода:

.

Когда порядок полинома в числителе оказывается выше порядка полинома в знаменателе, винеровский фильтр 1-го рода физически нереализуем. Для решения задачи, после определения импульсной характеристики её принудительно приравнивают нулю при отрицательных значениях (именно отличие от нуля при характеризует физическую нереализуемость системы) и таким образом получают физически реализуемый винеровский фильтр 2-го рода.

История[править | править вики-текст]

Во время второй мировой войны перед американским математиком Н. Винером встала задача отделения полезного сигнала от шума при решении задач автоматизации систем противовоздушной обороны, использующих радиолокационную технику. В 1942 г. Н. Винер решил эту задачу, допустив что искомая система должна быть линейной с постоянными параметрами, время наблюдения бесконечно, входной и желаемый выходной сигналы системы являются стационарными и стационарно связанными случайными процессами, система минимизирует среднюю квадратическую ошибку между желаемым и реальным выходными сигналами.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Норберт Винер «Я-математик», М., «Наука», 1964, гл 12 «Годы войны. 1940—1945», с. 213—265;
  2. Хургин Я. И. «Да, нет или может быть…», 2-е изд., М., «Наука», 1983, 208 с., илл., 32.81 Х98 УДК 62-50 ББК 32.81 6Ф0.1, тир. 100000 экз., гл. «Искусство надежды», с. 138—148;
  3. Л. А. Вайнштейн, В. Д. Зубаков «Выделение сигналов на фоне случайных помех», М., «Советское радио», 1960, 447 с., гл. 1 «Основные понятия теории фильтрации случайных процессов», с. 7-54;
  4. Дж. Бендат «Основы теории случайных шумов и её применения», М., «Наука», 1965, 464 стр. с илл., гл. 4 «Оптимальное линейное упреждение и фильтрация», с. 165—215;