Вложение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вложение  — специального вида отображение одного экземпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта в задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой являются и . В терминах теории категорий отображение, «сохраняющее структуру», называют морфизмом.

То, что отображение является вложением, часто обозначают «крючковатой стрелкой» таким образом: .

Для заданных и может быть несколько возможных вложений. Во многих случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение — например, вложения натуральных чисел в целые, целых в рациональные, рациональных в вещественные, а вещественных в комплексные. В таких случаях обычно задают область определения с образом , такую что .

Геометрия и топология[править | править вики-текст]

Общая топология[править | править вики-текст]

Отображение топологических пространств называется вложением в , если  — гомеоморфизм[1] (на рассматривается топология, индуцированная с ). Каждое вложение непрерывно и инъективно.

Для пространства существование вложения  — топологический инвариант. Мы можем различить два пространства, если одно из них можно вложить в , а другое нельзя.

Дифференциальная топология[править | править вики-текст]

Пусть  — гладкие многообразия и  — гладкое отображение. Оно называется погружением, если дифференциал отображения всюду инъективен. Гладкое вложение — это инъективное погружение, являющееся также вложением в вышеприведённом смысле (то есть гомеоморфизмом на свой образ).[2]

Другими словами, прообраз вложения диффеоморфен своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием. Погружение в свою очередь является локальным вложением (то есть для каждой точки существует окрестность , такая что  — вложение).

Важный частный случай — когда N=Rn. Интерес здесь представляет вопрос, насколько малым может быть n. Теорема Уитни о вложении[3] утверждает, что достаточно n=2m, где m — размерность многообразия.

Алгебра[править | править вики-текст]

Теория колец[править | править вики-текст]

В теории колец вложением называется инъективный гомоморфизм колец . Так как является подкольцом кольца , то вложение устанавливает изоморфизм между кольцами и .

Теория категорий[править | править вики-текст]

В теории категорий не существует удовлетворительного определения вложения, которое подходило бы для всех категорий. Типичные требования на определение вложения в произвольной категории таковы: все изоморфизмы являются вложениями, композиция вложений — вложение, все вложения — мономорфизмы, любой экстремальный мономорфизм — вложение.

В конкретной категории вложение — это морфизм ƒ: AB, который действует инъективно на множествах-носителях и также является начальным морфизмом в следующем смысле: если g — функция из множества-носителя объекта C во множество-носитель A, и её композиция с ƒ является морфизмом ƒg: CB, то g также является морфизмом.

Как обычно в теории категорий, существует двойственное понятие, известное как фактор.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 , page 16.
  2. Warner, F.W. (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-90894-3 , page 22.
  3. Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), 645—680.