Внеописанный четырёхугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Внеописанный четырёхугольник ABCD и его вневписанная окружность

Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника)[1]. Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис. Это биссектрисы двух внутренних углов противоположных углов четырёхугольника, биссектрисы внешних углов двух других вершин, и биссектрисы внешних углов в точках пересечения продолжений противоположных сторон (смотрите рисунок справа, указанные продолжения сторон проведены пунктиром). Внеописанный четырёхугольник тесно связан с описанным четырёхугольником (у которого четыре стороны касаются окружности).

Специальные случаи[править | править код]

Дельтоиды являются примером внеописанных четырёхугольников. Параллелограммы (которые включают квадраты, ромбы и прямоугольники) можно считать внеописанными четырёхугольниками с бесконечным радиусом вневписанной окружности, поскольку они удовлетворяют свойствам, описанным ниже, но внеописанная окружность не может касаться обеих пар продолжений сторон (ввиду их параллельности)[2]. Выпуклые четырёхугольники, длины сторон которых образуют арифметическую прогрессию, всегда являются внеописанными, поскольку удовлетворяют условиям, описанным ниже для смежных сторон.

Свойства[править | править код]

Выпуклый четырёхугольник является внеописанным тогда и только тогда, когда существует шесть пересекающихся в одной точке биссектрис. Это биссектрисы двух внутренних углов противоположных углов четырёхугольника, биссектрисы внешних углов двух других вершин и биссектрисы внешних углов в точках пересечения продолжений противоположных сторон[2].

С точки зрения вычислений, более полезно свойство, что выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является внеописанным тогда и только тогда, когда сумма двух смежных сторон равна сумме двух других сторон. Это возможно в двух случаях — либо

,

либо

Свойство доказано Якобом Штейнером в 1846 году[3]. В первом случае вневписанная окружность находится со стороны большего из углов при вершинах A или C, в то время как во втором случае окружность находится со стороны большего из углов при вершинах B или D. Здесь стороны четырёхугольника ABCD имеют длины a = AB, b = BC, c = CD и d = DA. Комбинируя два полученных равенства, получим, что абсолютные величины разностей противоположных сторон равны[2],

Это равенство тесно связано с теоремой Пито для описанных четырёхугольников, по которой суммы противоположных сторон равны.

Теорема Уркхарта[править | править код]

Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то

Вывод слева направо назван именем Л. М. Уркхарта (1902—1966), хотя доказан задолго до него Огастесом де Морганом в 1841 году. Даниэль Педо (Daniel Pedoe) назвал это утверждение самой элементарной теоремой евклидовой геометрии, поскольку в ней речь идёт только о прямых и расстояниях[4]. Эквивалентность доказал Моваффак Хаджа (Mowaffac Hajja)[4], что сделало равенство справа другим необходимым и достаточным условием для того, чтобы четырёхугольник был внеописанным.

Сравнение с описанным четырёхугольником[править | править код]

Несколько показателей описанных четырёхугольников (левый столбец таблицы) имеют очень похожего двойника для внеописанного четырёхугоольников (средний и правый столбец таблицы), как можно видеть в таблице ниже[2]. Так, выпуклый четырёхугольник имеет вписанную или вневписанную окружность около соответствующей вершины (зависит от столбца) тогда и только тогда, когда выполняется любое из пяти условий.

Вписанная Вневписанная вне A или C Вневписанная вне B или D

Обозначения в таблице следующие:

Внеописанный четырёхугольник ABCD. Дополнительные построения
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке P. R1, R2, R3,R4 — радиусы описанных окружностей для треугольников ABP, BCP, CDP, DAP
h1, h2, h3, h4 — высоты из точки P на стороны a = AB, b = BC, c = CD, d = DA соответственно в тех же треугольниках
e, f, g, h — расстояния от вершин A, B, C, D до точки P
x, y, z, w — углы ABD, ADB, BDC, DBC соответственно
Ra, Rb, Rc, Rd — радиусы окружностей, внешне касательных сторонам a, b, c, d соответственно и продолжениям смежных двух сторон.

Площадь[править | править код]

Внеописанный четырёхугольник ABCD со сторонами a, b, c, d имеет площадь

Заметьте, что это та же самая формула, что и для описанного четырёхугольника, и она также вытекает тем же самым образом из соотношения Бретшнайдера.

Радиус вневписанной окружности[править | править код]

Радиус вневписанной окружности четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой[2]

,

где K — площадь четырёхугольника. Для четырёхугольника с заданными сторонами максимален, когда четырёхугольник также является вписанным. Эти формулы объясняют, почему все параллелограммы имеют бесконечный радиус вневписанной окружности.

Внешне бицентральный четырёхугольник[править | править код]

Если вокруг внеописанного четырёхугольника можно описать окружность, его называют внебицентральным четырёхугольником[5]. В этом случае, поскольку противоположные углы в сумме составляют 180 °, площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле

,

той же самой, что и для бицентрального четырёхугольника[en].

Если x — расстояние между центром описанной окружности и центром вневписанной окружности, то[5]

где R — радиус описанной окружности, а r — радиус вневписанной окружности. Это то же самое равенство, что и в теореме Фусса[en] для бицентрального четырёхугольника. Однако решая квадратное уравнение относительно x, нужно выбирать другой корень, не тот, что выбирается для бицентрального четырёхугольника. Таким образом, для внеописанного четырёхугольника мы имеем[5]

Из этой формулы следует, что

,

что означает, что описанная и вневписанная окружности никогда не могут пересекаться.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Radic, Kaliman, Kadum, 2007, с. 33—52.
  2. 1 2 3 4 5 Josefsson, 2012, с. 63—77.
  3. F. G.-M., Exercices de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, p. 318.
  4. 1 2 Hajja, 2006, с. 167—169.
  5. 1 2 3 Radic, Kaliman, Kadum, 2007.

Литература[править | править код]