Внешняя алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 г.

Внешняя алгебра над пространством обычно обозначается

Определение[править | править вики-текст]

Внешняя алгебра векторного пространства над полем  — ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком а порождающими элементами являются где  — базис пространства Определяющие соотношения имеют следующий вид:

При этом внешняя алгебра не зависит от выбора базиса.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Операция называется внешним произведением.
  • Подпространство (для ) в порождённое элементами вида называется -ой внешней степенью пространства

Свойства[править | править вики-текст]

  • Имеют место равенства:
в частности
при а также
  • Имеет место градуированная коммутативность (суперкоммутативность) внешнего умножения: , если
  • Элементы пространства называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
    • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
    • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
  • Квадрат произвольного вектора нулевой:
Следует отметить, что для r-векторов при r > 1 это неверно.
  • Линейно независимые системы из векторов и из порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда -векторы и пропорциональны.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
  • Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.

См. также[править | править вики-текст]