Воеводский, Владимир Александрович

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Владимир Александрович Воеводский
VladimirVoevodsky.jpg
Дата рождения 4 июня 1966(1966-06-04)[1][2][3]
Место рождения
Дата смерти 30 сентября 2017(2017-09-30)[2][3] (51 год)
Место смерти
Страна
Научная сфера алгебраическая геометрия, топология, теория Галуа и основания математики
Место работы
Альма-матер
Учёная степень доктор философии
Учёное звание профессор
Научный руководитель Каждан, Давид
Награды и премии
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Владимир Александрович Воеводский (4 июня 1966 года, Москва — 30 сентября 2017 года, Принстон) — советский, российский и американский математик, внёсший значительный вклад в алгебраическую геометрию и основания математики. Лауреат Филдсовской премии (2002), постоянный профессор Института перспективных исследований.

Среди основных результатов на стыке алгебраической геометрии и алгебраической топологии — построение теории мотивных когомологий[en] и доказательство её средствами гипотезы Милнора[en] и гипотезы Блоха — Като[en], составлявших существенную проблемную часть алгебраической -теории[en][⇨]. В области оснований математики инициировал и внёс решающий вклад в программу создания унивалентных оснований математики — формального языка для абстрактных разделов математики, обеспечивающего автоматическую проверку доказательств на компьютере[⇨].

Биография[править | править код]

Родился в семье учёных — выпускников МГУ, отец — астрофизик, лауреат Государственной премии за работы по созданию Баксанской нейтринной обсерватории (1998)[4], мать — химик, специалист по ядерному магнитному резонансу. Раннее детство провёл в коммунальной квартире на площади Ногина, впоследствии семья переселилась в отдельную квартиру в Малом Ивановском переулке[5].

В старших классах сменил несколько школ, аттестат о среднем образовании получил в 1983 году, в формировании строгого и точного математического мышления отмечал влияние учебника по геометрии под редакцией Колмогорова[6][5]. В том же году поступил на механико-математический факультет МГУ. Получив из-за сильной аллергии «белый билет» — освобождение от срочной воинской службы, отсрочку от которой не предоставляли прервавшим обучение в вузе, взял академический отпуск, после возвращения из которого был отчислен, но впоследствии восстановился[7].

Во время учёбы в университете увлёкся алгебраической геометрией, в числе причин указывал на работу в этой области таких интересных людей, как Игорь Шафаревич[5]. Во время академического отпуска подрабатывал преподавателем программирования на учебно-производственном комбинате, там встретился с Георгием Шабатом. Шабат познакомил Воеводского с Программой Гротендика, к которой впоследствии неоднократно обращался в своём творчестве, к осмыслению и развитию идей программы относятся и первые научные исследования Воеводского, проведённые совместно с Шабатом и вылившиеся в ряд публикаций[8][9], одна из которых получила одобрение Гротендика. В 1989 году, по результатам I семестра четвёртого курса, несмотря на наличие опубликованных работ в ведущих журналах, окончательно отчислен из университета за академическую неуспеваемость[7].

В 1989—1990 годы опубликовал несколько работ вместе с Михаилом Капрановым, вскоре иммигрировавшим в США. В 1990 году Капранов заполнил за Воеводского заявку на поступление в аспирантуру Гарвардского университета, и, несмотря на формальное отсутствие высшего образования, тот был принят[10]. Квалификационный экзамен, на сдачу которого отводятся первые три года обучения в аспирантуре, сдал уже через месяц после поступления, благодаря чему был освобождён от занятий и смог сконцентрироваться на исследовательской работе[7]. Находясь в аспирантуре постоянно нарушал регламенты: уезжал в Россию на 4 месяца, жил прямо в офисе, отказываясь снять жильё, при этом руководство факультета во всех случаях содействовало сохранению перспективного учёного в Гарварде. Докторскую диссертацию на тему «Гомологии схем и ковариантных мотивов» защитил в 1992 году под руководством Давида Каждана.

По окончании аспирантуры прошёл годичную постдокторантуру в принстонском Институте перспективных исследований, после чего вернулся в Гарвард и три года состоял в Обществе стипендиатов (англ. Society of fellows), в которое ежегодно набирают 8 выпускников аспирантур и предоставляют возможность сфокусироваться на исследованиях, не отвлекаясь на преподавание[7].

В 1995 году женился на математике Надежде Шалаби (род. 1966), в браке, который завершился разводом в 2008 году, родились двое дочерей (Тали и Дина).

С 1996 по 1999 год работал в должности экстраординарного профессора (англ. associate professor) в Северо-Западном университете, где сотрудничал с крупнейшими специалистами по алгебраической -теории Андреем Суслиным и Эриком Фридландером[en], также в течение этого периода был приглашённым профессором в Институте Макса Планка и в Гарварде. В 1998 году прочёл пленарный доклад «Теория -гомотопий» на Международном конгрессе математиков в Берлине[11].

В 1998 году приглашён на постоянную позицию в Институт перспективных исследований; в январе 2002 года, за несколько месяцев до награждения медалью Филдса, получил должность пожизненного профессора института. Во время работы в Принстоне обращался к математической биологии в части исторической генетики и к теории вероятностей, работая над переформулировкой её на языке теории категорий[12], считая важным внести вклад в приложения, а в период 2005—2006 годов полностью выключился из академической деятельности. В 2006 году опубликовал первые заметки по возможностям применения геометрических понятий к теории типов[13][14], и, после окончательного доказательства гипотезы Блоха — Като в 2010 году, полностью погрузился в новое направление, выдвинув программу унивалентных оснований. К программе постепенно подключился значительный коллектив специалистов по математической логике, теории категорий, системам автоматического доказательства. Академический год 2012/13 в Институте перспективных исследований по инициативе Воеводского был объявлен «годом унивалентных оснований», в рамках которого в сотрудничестве Воеводского, Ауди[en] и Кокана была открыта специальная исследовательская программа, собравшая около 30 учёных, совместно написавших за этот период 600-страничную книгу[15].

Умер у себя дома в Принстоне, обнаружен по обращению бывшей жены, которая некоторое время не могла с ним связаться и знала о тяжёлом заболевании; по её сообщениям, причиной смерти могла быть аневризма[16]. Похоронен 27 декабря 2017 года на Химкинском кладбище в Москве[17].

Научный вклад[править | править код]

Алгебраическая геометрия[править | править код]

В работах 1989—1990 годов по высшим группоидам, написанных в соавторстве с Капрановым, развил идею Гротендика о возможности описания CW-комплексов с гомотопической точки зрения как группоидов. В 1998 году Карлосом Симпсоном[en] построен контрпример к одной из основных конструкций этих работ[18], который Воеводский с Капрановым изначально не признали, и статья Симпсона не была принята в журналы; лишь в 2013 году Воеводский подтвердил доводы Симпсона.

В трудах периода гарвардской аспирантуры разработал конструкцию, в которой всякой схеме соответствуют триангулируемая категория[en] и ковариантный функтор из категории схем над в . Полученная конструкция обладает всеми свойствами теории гомологий, таким образом, выявлена новая возможность работать со схемами (и, в частности, с алгебраическими многообразиями) средствами алгебраической топологии.

Используя созданный в диссертации инструментарий подключился к решению ключевых проблем алгебраической -теории и проработке деталей теории мотивных когомологий. В 1996—1998 годы совместно с Фабианом Морелем[fr] создал теорию -гомотопий[en], основная идея которой заменить в определении гомотопии единичный интервал (не являющийся алгебраическим многообразием) аффинной прямой для возможности полной алгебраизации теории гомотопий. Этим работам посвящён пленарный доклад на Международном конгрессе математиков в 1998 году.

Теории мотивных когомологий в 2000 году Математической предметной классификации присвоен отдельный код 14F42 в составе подраздела «Теории гомологий и когомологий» в разделе «Алгебраическая геометрия». В 2010 году к этому же коду присоединена также теория -гомотопий под наименованием «теория мотивных гомотопий».

В 1996 году выпустил препринт с первым доказательством гипотезы Милнора, составлявшей основную проблему милноровой -теории[en], согласно которой существует изоморфизм между кольцами Милнора и группами этальных когомологий[en] с коэффициентами в для всякого поля характеристики, отличной от 2, и любого целого . В доказательстве, кроме собственных разработок и теории -гомотопий, существенно использованы результаты Меркурьева, Суслина, Фридландера и Роста[de]. Несмотря на всеобщее признание результата в конце 1990-х годов и получение Филдсовской премии за доказательство гипотезы, окончательный вариант, устраняющий все недочёты в доказательствах, был опубликован в 2003 году.

С конца 1990-х годов принялся за решение проблемы Блоха — Като, для которой гипотеза Милнора является частным случаем при . Несмотря на то, что подход к доказательству Воеводский, по собственному утверждению, выработал уже в конце 1996 года, проработка результата потребовала значительной подготовительной работы, как по линии алгебраической -теории, так и мотивной теории когомологий. Лишь к концу 2000-х годов Суслину, Жуховицкому и Вейбелю удалось доказать необходимое обобщение результата Роста[19], а работу по развитию мотивной теории когомологий и соединение всех деталей доказательства Воеводский завершил в феврале 2010 года.

Основания математики[править | править код]

Ещё с середины 1990-х годов считал одной из угроз математики возможность накопления незамеченных ошибок из-за чрезвычайного усложнения современных направлений, и с 2002 года искал возможность применить системы автоматического доказательства к абстрактным разделам математики, но не находил удовлетворительных решений[20]. В конце 2005 года обнаружил возможность описания высших группоидов[en], средствами λ-исчисления с зависимыми типами, лежавшего в основе ряда систем автоматического доказательства, эксплуатирующих изоморфизм Карри — Ховарда об эквивалентности между компьютерными программами и математическими доказательствами[21]. Идеи применения интуиционистской теории типов к теории категорий и топологии публиковались с середины 1990-х годов, но не к высшим группоидам, которые, согласно Воеводскому, ссылающемуся в свою очередь на соответствие Гротендика, являются фундаментальными математическими объектами, и соответствуют гомотопическим типам.

К 2006 году относятся первые эксперименты Воеводского с системой Coq. В 2009 году решил основные технические проблемы на пути применения интуиционистской теории типов к высшим группоидам, прежде всего, разработав конструкцию для иерархии универсумов и постулировав аксиому унивалентности, утверждающую равенство между объектами, между которыми может быть установлена эквивалентность:

.

Хотя в математике традиционно множество результатов устанавливается для классов эквивалентных объектов, «с точностью до…» — изоморфизма, гомеоморфизма, гомотопии, — считается, что введение аксиомы унивалентности на уровне оснований стало революционным новшеством[22], кроме всего, обеспечивающим множество технических эффектов благодаря возможности избавиться в формализациях от громоздких конструкций с классами эквивалентностей. Ещё одной фундаментальной особенностью подхода Воеводского к основаниям считается объединение в рамках одной теории логических и математических понятий, где одни и те же конструкции могут быть наделены той или иной интерпретацией, в отличие от классического подхода, идущего от Гильберта и Тарского, где логика эпистемологически первична — вначале определяется логическая система, а потом её средствами строятся собственно математические теории[23].

С 2010 года приступил к разработке «Библиотеки унивалентных оснований»[24] — коллекции формальных описаний на Coq, позволяющих формулировать доказательства для абстрактных разделов математики, в течение трёх месяцев удалось построить систему с достаточно широким охватом[20]. В 2010 году в рамках запроса на грант подготовил программу разработки унивалентных оснований[25], в которой выделил следующие её возможности:

  • естественная аксиоматизация категорных и высшекатегорных языков,
  • применение языков зависимых типов,
  • прямая аксиоматизация понятий на основе гомотопических типов, без использования инструментария теории множеств,
  • применимость как для конструктивной так и неконструктивной математики.

В 2013 году, в рамках инициированного им совместно с Ауди[en] и Коканом в Институте перспективных исследований года унивалентных оснований, стал соавтором книги «Гомотопическая теория типов», впоследствии высказывал неудовлетворённость результатами, отмечая, что участники программы предлагали много странных идей[21]. В целом, несмотря на большое количество специалистов, подключившихся к программе создания унивалентных оснований, работал изолированно: развивал собственный проект библиотеки оснований[24], использующий специально разработанное безопасное подмножество Coq, тогда как участники исследовательской программы Института перспективных исследований вели работы стандартными средствами[26]. Кроме того, посвятил цикл из восьми работ 2014—2017 годов модельным вопросам и проблемам обоснования, разрабатывая теорию C-систем (контекстуальных категорий), притом что основная волна исследований направлена на расширение возможностей оснований и приложения[20].

Память[править | править код]

8 октября 2017 года в Институте перспективных исследований проведено собрание памяти учёного, на котором выступили близкие и коллеги учёного, в том числе Пьер Делинь, Ричард Тейлор, Давид Каждан[27]. 28 декабря 2017 года, на следующий день после отпевания и похорон в Москве, в Математическом институте Академии наук имени Стеклова прошла однодневная конференция памяти Воеводского[28].

По мнению сокурсника по Гарварду Михаила Вербицкого, Воеводский выведен в нескольких текстах писателя Баяна Ширянова и стал прототипом главного героя романа Николая Баранского «Путешествие в поисках истинной живости»[29].

Избранные публикации[править | править код]

Книги
Статьи

Примечания[править | править код]

  1. Архив по истории математики Мактьютор
  2. 1 2 Bibliothèque nationale de France Vladimir Alexandrovich Voevodsky // идентификатор BNF (фр.): платформа открытых данных — 2011.
  3. 1 2 Vladimir Voevodsky // Identifiants et Référentiels (фр.)ABES, 2011.
  4. Указ Президента РФ за № 870 от 22 июля 1998 года
  5. 1 2 3 Новосёлова, 2002.
  6. Примерно к этим же годам относится активная критика школьных учебников Колмогорова за излишнюю формальность изложения
  7. 1 2 3 4 Беляева, 2011.
  8. Воеводский В. А., Шабат Г. Б. Равносторонние триангуляции римановых поверхностей и кривые над полями алгебраических чисел // Доклады АН СССР. — 1989. — Т. 304, № 2. — С. 265—268.
  9. Voevodsky, V. A., and G. B. Shabat. Piece-Wise Euclidean Approximation of Jacobians of Algebraic Curves // CSTARCI Math. Preprints. — 1988.
  10. Kevin Hartnett. Visionary Mathematician Vladimir Voevodsky Dies at 51 (англ.). Quanta Magazine (11 October 2017). Дата обращения: 27 октября 2017.
  11. V. Voevodsky. -Homotopy Theory // Documenta Mathematica. — 1998. — Т. Extra (ICM), № I. — С. 579–604.
  12. В. А. Воеводский. Категорная вероятность. Общеинститутский семинар «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук (20 ноября 2008). Дата обращения: 29 декабря 2017.
  13. Георгий Шабат, Андрей Родин, Анатолий Вершик. «Он готов был работать сутками без сна и еды». Троицкий вариант — наука, № 239 c. 16 (10 октября 2017). Дата обращения: 26 декабря 2017.
  14. V. Voevodsky. A very short note on the homotopy λ-calculus. — 2006.
  15. Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. — Princeton: Institute for Advanced Study, 2013. — 603 p.
  16. Vladimir Voevodsky, Revolutionary Mathematician, Dies at 51. The New York Times (6 октября 2017). Дата обращения: 26 декабря 2017.
  17. Memorial Events in Honor of Vladimir Voevodsky in Moscow, Russia (англ.). Institute of Advanced Study (26 December 2017). Дата обращения: 26 декабря 2017.
  18. Carlos Simpson. Homotopy types of strict 3-groupoids // ArXiv.org.
  19. Михайлов, 2012.
  20. 1 2 3 Daniel R. Grayson. Vladimir Voevodsky (1966–2017). Mathematician who revolutionized algebraic geometry and computer proof. Nature (6 ноября 2017). doi:10.1038/d41586-017-05477-9. Дата обращения: 24 декабря 2017.
  21. 1 2 Hannes Hummel. Will Computers Redefine the Roots of Math?. When a legendary mathematician found a mistake in his own work, he embarked on a computer-aided quest to eliminate human error. To succeed, he has to rewrite the century-old rules underlying all of mathematics (англ.). Quanta Magazine (19 May 2015). Дата обращения: 30 декабря 2017.
  22. Steve Awodey, Álvaro Pelayo, Michael A. Warren. Voevodsky’s Univalence Axiom in Homotopy Type Theory (англ.) // Notices of the AMS. — 2013. — Vol. 60, no. 9. — P. 1164—1167.
  23. Андрей Родин. Логический и геометрический атомизм от Лейбница до Воеводского // Вопросы философии. — 2016. — № 6. — С. 134—142.
  24. 1 2 Проект «Библиотека унивалентных оснований» на сайте GitHub
  25. Vladimir Voevodsky. Univalent Foundations Project. (a modified version of an NSF grant application). Institute of Advanced Study (1 октября 2010). Дата обращения: 30 декабря 2017.
  26. Проект Воеводского в библиотеке UniMath на сайте GitHub
  27. Remembering Vladimir Voevodsky, 1966–2017 (англ.). IAS (8 October 2017). Дата обращения: 27 декабря 2017.
  28. Однодневная конференция, посвящённая памяти В. А. Воеводского. Общероссийский математический портал (27 декабря 2017). Дата обращения: 27 декабря 2017.
  29. Михаил Вербицкий. Двухкубовый хронометр. LJ.Rossia.org (1 октября 2017). Дата обращения: 26 декабря 2017.

Ссылки[править | править код]

Некоторые выступления
Интервью