Возвратное состояние

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Возвра́тное состоя́ние — это состояние марковской цепи, посещаемое ею бесконечное число раз.

Определение[править | править код]

Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем . Пусть

вероятность, выйдя из состояния , вернуться в него ровно за шагов. Тогда

— вероятность, выйдя из состояния , вернуться в него (за конечное или бесконечное время).

Состояние называется возвра́тным (рекурре́нтным), если . В противном случае состояние называется невозвра́тным (транзие́нтным).

Критерий возвратности[править | править код]

Состояние является возвратным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий:

  1. , где .
  2. .

Соответственно, состояние невозвратно тогда и только тогда, когда выполнено любое из условий:

  1. .
  2. .

Время возвращения[править | править код]

Предположим, что почти всюду, и определим случайную величину , равную времени первого возвращения в состояние , то есть

.

Тогда имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности

.

Возвратное состояние называется положи́тельным, если

,

и нулевы́м, если

.

Возвратность неразложимого класса[править | править код]

  • Если состояния и сообщаются, и  — возвратно, то состояние также возвратно.
  • Более того если состояние положительно, то и состояние также положительно.

Таким образом возвратность и положительность — свойство неразложимого класса. Если Марковская цепь неразложима, то говорят о её возвратности и положительности.