Волновое уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики

Вид уравнения[править | править вики-текст]

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

,

где  — оператор Лапласа,  — неизвестная функция,  — время,  — пространственная переменная,  — фазовая скорость.

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

.

Оператор Д’Аламбера[править | править вики-текст]

Разность называется оператором Д’Аламбера и обозначается как (разные источники используют разный знак). Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как:

Неоднородное уравнение[править | править вики-текст]

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

,

где  — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

или .

Решение волнового уравнения[править | править вики-текст]

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны () — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны () — формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера[править | править вики-текст]

Решение одномерного волнового уравнения (здесь  — фазовая скорость)

(функция соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

имеет вид

Интересно заметить, что решение однородной задачи

,

имеющее следующий вид

может быть представлено в виде

где

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции и  — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае также решение задачи Коши может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

Задача на полупрямой[править | править вики-текст]

Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой

с закрепленным концом:

и начальными условиями

для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:

В силу того, что начальные условия  — нечетные функции, логично ожидать, что и решение будет нечетной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию (последнее следует из нечетности функции).

Показанный прием широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце :

.

Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

Методы решения в ограниченной одномерной области[править | править вики-текст]

Метод отражений[править | править вики-текст]

Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке

с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)

и начальными условиями

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:

используются ровно те же соображения, и функция продолжается таким же образом.

Метод Фурье[править | править вики-текст]

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке

с однородными граничными условиями первого рода

и начальными условиями

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида

, где обе функции зависит только от одной переменной.

Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо, чтобы выполнялись условия

Решение задачи Штурма-Лиувилля на приводит к ответу:

и их собственным значениям

Соответствующие им функции выглядят как

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи

Разложив функции в ряд Фурье, можно получить коэффициенты , при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

Метод учета волн[править | править вики-текст]

Импульс, отражающийся от закрепленных граничных концов, упругие колебания моделируются волновым уравнением

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке

однако на сей раз положим однородные начальные условия

и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени (граничное условие первого рода)

Решение записывается в виде

В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида

которая, добегая за время а до правого конца, отражается и дает вклад

через время а снова отражается и дает вклад

Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке , то мы можем ограничиться лишь первыми слагаемыми.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]