Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных , задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны , а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика , преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике ). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики .
В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде
Δ
u
=
1
v
2
∂
2
u
∂
t
2
{\displaystyle \Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}}
,
где
Δ
{\displaystyle \Delta }
— оператор Лапласа ,
u
=
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u=u(x,t)}
— неизвестная функция,
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
— время,
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
— пространственная переменная,
v
{\displaystyle v}
— фазовая скорость .
Вывод для трёхмерного случая.
Приведённые выкладки, конечно же, можно обобщить и на многомерные случаи. Итак.
Пусть дано уравнение плоской волны:
A
(
r
→
,
t
)
=
A
0
c
o
s
(
ω
t
−
(
k
→
,
r
→
)
+
φ
0
)
,
{\displaystyle A({\vec {r}},t)=A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right),}
где
A
(
x
,
t
)
{\displaystyle A(x,t)}
— величина возмущения в данной точке пространства
x
{\displaystyle x}
и времени
t
{\displaystyle t}
;
A
0
{\displaystyle A_{0}}
— амплитуда волны;
ω
{\displaystyle \omega }
— круговая частота ;
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
— волновой вектор , равный
k
n
→
{\displaystyle k{\vec {n}}}
где
r
→
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\vec {r}}\left(x,y,z\right)}
— радиус-вектор точки с координатами
x
,
y
{\displaystyle x,y}
и
z
{\displaystyle z}
;
(
k
→
,
r
→
)
{\displaystyle ({\vec {k}},{\vec {r}})}
— скалярное произведение векторов
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
и
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
. Здесь и далее скалярное произведение будет обозначаться таким образом;
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
— начальная фаза колебаний .
Продифференцируем его по
x
{\displaystyle x}
, по
y
{\displaystyle y}
, по
z
{\displaystyle z}
и по
t
{\displaystyle t}
. Получим четыре уравнения:
{
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
t
2
=
−
ω
2
A
0
c
o
s
(
ω
t
−
(
k
→
,
r
→
)
+
φ
0
)
=
−
ω
2
A
(
r
→
,
t
)
(
1
)
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
x
2
=
−
k
x
2
A
0
c
o
s
(
ω
t
−
(
k
→
,
r
→
)
+
φ
0
)
=
−
k
x
2
A
(
r
→
,
t
)
(
2
)
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
y
2
=
−
k
y
2
A
0
c
o
s
(
ω
t
−
(
k
→
,
r
→
)
+
φ
0
)
=
−
k
y
2
A
(
r
→
,
t
)
(
3
)
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
z
2
=
−
k
z
2
A
0
c
o
s
(
ω
t
−
(
k
→
,
r
→
)
+
φ
0
)
=
−
k
z
2
A
(
r
→
,
t
)
(
4
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right)=-\omega ^{2}A({\vec {r}},t)\qquad \left(1\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial x^{2}}}=-k_{x}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right)=-k_{x}^{2}A({\vec {r}},t)\qquad \left(2\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}=-k_{y}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right)=-k_{y}^{2}A({\vec {r}},t)\qquad \left(3\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial z^{2}}}=-k_{z}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}},{\vec {r}})+\varphi _{0}\right)=-k_{z}^{2}A({\vec {r}},t)\qquad \left(4\right)\end{matrix}}\right.}
Сложим
(
2
)
,
(
3
)
{\displaystyle \left(2\right),\left(3\right)}
и
(
4
)
:
{\displaystyle \left(4\right):}
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
x
2
+
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
y
2
+
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
z
2
=
−
(
k
x
2
+
k
y
2
+
k
z
2
)
A
(
r
→
,
t
)
=
−
k
→
2
⋅
A
(
r
→
,
t
)
{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial z^{2}}}=-(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})A({\vec {r}},t)=-{\vec {k}}^{2}\cdot A({\vec {r}},t)}
Из полученного уравнения и уравнения
(
1
)
,
{\displaystyle \left(1\right),}
заменив
k
2
ω
2
=
1
v
2
,
{\displaystyle {\cfrac {k^{2}}{\omega ^{2}}}={\cfrac {1}{v^{2}}},}
получаем, что
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
x
2
+
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
y
2
+
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
z
2
=
1
v
2
⋅
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
t
2
⇔
Δ
A
(
r
→
,
t
)
=
1
v
2
⋅
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
t
2
{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial z^{2}}}={\cfrac {1}{v^{2}}}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}\Leftrightarrow \Delta A({\vec {r}},t)={\cfrac {1}{v^{2}}}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}}
В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде
∂
2
u
∂
x
2
=
1
v
2
∂
2
u
∂
t
2
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}}
.
Данное уравнение можно трактовать следующим образом. Вторая производная координаты по времени — сила (второй закон Ньютона) — пропорциональна кривизне струны (вторая производная по координате). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" на струне (чем более острые "горбы"), тем большая сила растягивает данный участок струны.
Разность
Δ
−
1
v
2
∂
2
∂
t
2
{\displaystyle \Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}
называется оператором Д’Аламбера и обозначается как
◻
{\displaystyle \square }
(разные источники используют разный знак).
Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как
◻
u
=
0
{\displaystyle \square u=0}
Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение
∂
2
u
∂
t
2
=
v
2
Δ
u
+
f
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta u+f}
,
где
f
=
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f=f(x,t)}
— некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).
Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).
Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа , то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца , получающегося подстановкой
u
(
x
,
t
)
=
U
(
x
)
e
i
ω
t
{\displaystyle u(x,t)=U(x)e^{i\omega t}\ }
или
u
(
x
,
t
)
=
U
(
x
)
c
o
s
(
ω
t
)
{\displaystyle u(x,t)=U(x)\,\mathop {\rm {cos}} \,(\omega t)\ }
.
Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны (
R
1
{\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}
) — формула Д’Аламбера , для колебания мембраны (
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
) — формула Пуассона .
Решение одномерного волнового уравнения (здесь
v
=
a
{\displaystyle v=a}
— фазовая скорость)
u
t
t
=
a
2
u
x
x
+
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)\quad }
(функция
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f(x,t)}
соответствует вынуждающей внешней силе)
с начальными условиями
u
(
x
,
0
)
=
φ
(
x
)
,
u
t
(
x
,
0
)
=
ψ
(
x
)
{\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)}
имеет вид
u
(
x
,
t
)
=
φ
(
x
+
a
t
)
+
φ
(
x
−
a
t
)
2
+
1
2
a
∫
x
−
a
t
x
+
a
t
ψ
(
α
)
d
α
+
1
2
a
∫
0
t
∫
x
−
a
(
t
−
τ
)
x
+
a
(
t
−
τ
)
f
(
s
,
τ
)
d
s
d
τ
{\displaystyle u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau }
Интересно заметить, что решение однородной задачи
u
t
t
=
a
2
u
x
x
{\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}}
,
имеющее следующий вид:
u
(
x
,
t
)
=
φ
(
x
+
a
t
)
+
φ
(
x
−
a
t
)
2
+
1
2
a
∫
x
−
a
t
x
+
a
t
ψ
(
α
)
d
α
{\displaystyle u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }}
,
может быть представлено в виде
u
(
x
,
t
)
=
f
1
(
x
+
a
t
)
+
f
2
(
x
−
a
t
)
{\displaystyle u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)}
,
где
f
1
(
x
)
=
φ
(
x
)
2
+
1
2
a
∫
0
x
ψ
(
α
)
d
α
,
f
2
(
x
)
=
φ
(
x
)
2
+
1
2
a
∫
x
0
ψ
(
α
)
d
α
{\displaystyle f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{x}{\psi (\alpha )d\alpha },\qquad f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x}^{0}{\psi (\alpha )d\alpha }}
.
В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции
f
1
(
x
)
{\displaystyle f_{1}(x)}
и
f
2
(
x
)
{\displaystyle f_{2}(x)}
— это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.
В многомерном случае решение задачи Коши также может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье
Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой
[
0
;
+
∞
)
{\displaystyle [0;+\infty )}
u
t
t
=
a
2
u
x
x
{\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}}
с закрепленным концом:
u
(
0
,
t
)
=
0
{\displaystyle u(0,t)=0}
и начальными условиями
u
(
x
,
0
)
=
φ
(
x
)
,
u
t
(
x
,
0
)
=
ψ
(
x
)
{\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi (x)}
для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:
φ
(
0
)
=
0
,
ψ
(
0
)
=
0
{\displaystyle \varphi (0)=0,\qquad \psi (0)=0}
Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:
φ
(
−
x
)
=
−
φ
(
x
)
,
ψ
(
−
x
)
=
−
ψ
(
x
)
∀
x
∈
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle \varphi (-x)=-\varphi (x),\qquad \psi (-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,+\infty )}
В силу того, что начальные условия
φ
(
x
)
,
ψ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x),\psi (x)}
— нечётные функции, логично ожидать, что и решение
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)}
будет нечётной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию
u
(
0
,
t
)
=
0
{\displaystyle u(0,t)=0}
(последнее следует из нечётности функции).
Показанный приём широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения . Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце
x
=
0
{\displaystyle x=0}
:
u
x
(
0
,
t
)
=
0
{\displaystyle u_{x}(0,t)=0}
.
Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.
Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке
[
0
,
a
]
{\displaystyle [0,a]}
u
t
t
=
a
2
u
x
x
{\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}}
с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)
u
(
0
,
t
)
=
0
u
(
a
,
t
)
=
0
{\displaystyle u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0}
и начальными условиями
u
(
x
,
0
)
=
φ
(
x
)
,
u
t
(
x
,
0
)
=
ψ
(
x
)
∀
x
∈
[
0
,
a
]
{\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]}
При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:
φ
(
2
n
a
+
x
)
=
φ
(
x
)
ψ
(
2
n
a
+
x
)
=
ψ
(
x
)
∀
x
∈
[
0
,
a
]
∀
n
∈
Z
{\displaystyle \varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z}
φ
(
2
n
a
−
x
)
=
−
φ
(
x
)
ψ
(
2
n
a
−
x
)
=
−
ψ
(
x
)
∀
x
∈
[
0
,
a
]
∀
n
∈
Z
{\displaystyle \varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z}
При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:
u
t
t
=
a
2
u
x
x
+
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)}
используются ровно те же соображения, и функция
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f(x,t)}
продолжается таким же образом.
Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке
[
0
,
l
]
{\displaystyle [0,l]}
u
t
t
=
a
2
u
x
x
{\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}}
с однородными граничными условиями первого рода
u
(
0
,
t
)
=
0
u
(
l
,
t
)
=
0
{\displaystyle u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0}
и начальными условиями
u
(
x
,
0
)
=
φ
(
x
)
,
u
t
(
x
,
0
)
=
ψ
(
x
)
∀
x
∈
[
0
,
l
]
{\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]}
Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида
X
(
x
)
T
(
t
)
{\displaystyle X(x)T(t)}
, где обе функции зависят только от одной переменной.
Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.
Нетрудно показать, что для того, чтобы функция
u
(
x
,
t
)
=
X
(
x
)
T
(
t
)
{\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)}
была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо,
чтобы выполнялись условия
X
(
0
)
=
0
X
(
l
)
=
0
{\displaystyle X(0)=0\qquad X(l)=0}
a
2
X
″
(
x
)
=
−
λ
X
(
x
)
{\displaystyle a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)}
T
″
(
t
)
=
−
λ
T
(
t
)
{\displaystyle T''(t)=-\lambda T(t)}
Решение задачи Штурма-Лиувилля на
X
(
x
)
{\displaystyle X(x)}
приводит к ответу:
X
n
(
x
)
=
sin
(
π
n
x
l
)
n
∈
N
{\displaystyle X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l}}\right)\qquad n\in \mathbf {N} }
и их собственным значениям
λ
n
=
(
π
n
a
l
)
2
{\displaystyle \lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}}
Соответствующие им функции
T
{\displaystyle T}
выглядят как
T
n
(
t
)
=
α
n
sin
(
λ
n
t
)
+
β
n
cos
(
λ
n
t
)
.
{\displaystyle T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).}
Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи
u
(
x
,
t
)
=
∑
n
=
1
+
∞
X
n
(
x
)
T
n
(
t
)
=
∑
n
=
1
+
∞
(
α
n
sin
(
λ
n
t
)
+
β
n
cos
(
λ
n
t
)
)
sin
π
n
x
l
.
{\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+\infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l}}.}
Разложив функции
φ
(
x
)
,
ψ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x),\psi (x)}
в ряд Фурье , можно получить коэффициенты
α
n
,
β
n
{\displaystyle \alpha _{n},\beta _{n}}
, при которых решение будет обладать такими начальными условиями.
Импульс , отражающийся от закрепленных граничных концов, упругие колебания моделируются волновым уравнением
Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке
[
0
,
a
]
{\displaystyle [0,a]}
u
t
t
=
u
x
x
,
{\displaystyle u_{tt}=u_{xx},}
однако на сей раз положим однородные начальные условия
u
(
x
,
0
)
≡
0
,
u
t
(
x
,
0
)
≡
0
∀
x
∈
[
0
,
a
]
{\displaystyle u(x,0)\equiv 0,\quad u_{t}(x,0)\equiv 0\qquad \forall x\in [0,a]}
и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени
(граничное условие первого рода)
u
(
0
,
t
)
=
μ
(
t
)
u
(
a
,
t
)
=
ν
(
t
)
{\displaystyle u(0,t)=\mu (t)\qquad u(a,t)=\nu (t)}
Решение записывается в виде
u
(
x
,
t
)
=
∑
k
=
0
+
∞
[
μ
(
t
−
x
−
2
k
a
)
−
μ
(
t
+
x
−
(
2
k
+
2
)
a
)
]
+
∑
k
=
0
+
∞
[
ν
(
t
+
x
−
(
2
k
+
1
)
a
)
−
ν
(
t
−
x
−
(
2
k
+
1
)
a
)
]
{\displaystyle u(x,t)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\biggl [}\mu (t-x-2ka)-\mu (t+x-(2k+2)a){\biggr ]}+\sum _{k=0}^{+\infty }{\biggl [}\nu (t+x-(2k+1)a)-\nu (t-x-(2k+1)a){\biggr ]}}
В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида
μ
(
t
−
x
)
,
{\displaystyle \mu (t-x),}
которая, добегая за время а до правого конца, отражается и даёт вклад
μ
(
t
+
x
−
2
a
)
,
{\displaystyle \mu (t+x-2a),}
через время а снова отражается и дает вклад
μ
(
t
−
x
−
2
a
)
,
{\displaystyle \mu (t-x-2a),}
Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке
[
0
,
T
]
{\displaystyle [0,T]}
, то мы можем ограничиться лишь первыми
⌈
T
/
a
⌉
{\displaystyle \lceil T/a\rceil }
слагаемыми.
Примером физических величин, поведение которых описывается волновым уравнением, являются электрическая и магнитная компоненты электромагнитной волны .
Система уравнения Максвелла в дифференциальной форме имеет вид
rot
E
=
−
∂
B
∂
t
div
D
=
ρ
{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \operatorname {div} \mathbf {D} =\rho }
rot
H
=
j
+
∂
D
∂
t
div
B
=
0
{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\quad \operatorname {div} \mathbf {B} =0}
.
При этом действуют соотношения
B
=
μ
μ
0
H
{\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mu _{0}\mathbf {H} }
и
D
=
ε
ε
0
E
{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E} }
. Здесь
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
— напряженность электрического поля ,
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
— напряженность магнитного поля ,
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
— магнитная индукция ,
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
— электрическое смещение ,
j
{\displaystyle \mathbf {j} }
— плотность тока ,
ρ
{\displaystyle \rho }
— плотность заряда ,
μ
{\displaystyle \mu }
— магнитная проницаемость ,
ε
{\displaystyle \varepsilon }
— диэлектрическая проницаемость ,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
— магнитная постоянная ,
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
— электрическая постоянная .
Для электромагнитной волны
j
=
0
{\displaystyle \mathbf {j} =0}
,
ρ
=
0
{\displaystyle \rho =0}
, поэтому, если среда однородна, уравнения принимают форму
ε
ε
0
div
E
=
0
{\displaystyle \varepsilon \varepsilon _{0}\operatorname {div} \mathbf {E} =0}
rot
H
=
∂
D
∂
t
{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
.
Предполагая, что волна распространяется в направлении X, а колебания вектора
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
происходят в направлении Y, отсюда можно вывести волновое уравнение для составляющей
E
y
{\displaystyle E_{y}}
и аналогичное уравнение для
H
z
{\displaystyle H_{z}}
:
rot
{\displaystyle \operatorname {rot} }
— ротор , дифференциальный оператор,
rot
E
=
∇
×
E
=
|
i
j
k
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
E
x
E
y
E
z
|
=
(
∂
E
z
∂
y
−
∂
E
y
∂
z
)
i
+
(
∂
E
x
∂
z
−
∂
E
z
∂
x
)
j
+
(
∂
E
y
∂
x
−
∂
E
x
∂
y
)
k
{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\E_{x}&E_{y}&E_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }
div
{\displaystyle \operatorname {div} }
— дивергенция , дифференциальный,
div
E
=
∇
⋅
E
=
∂
E
x
∂
x
+
∂
E
y
∂
y
+
∂
E
z
∂
z
{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}}
Δ
{\displaystyle \Delta }
— оператор Лапласа,
Δ
E
=
Δ
E
x
i
+
Δ
E
y
j
+
Δ
E
z
k
{\displaystyle \Delta \mathbf {E} =\Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k} }
,
Δ
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}
[ 1]
Согласно свойству ротора векторного поля
rot
rot
E
=
grad
(
div
E
)
−
Δ
E
{\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E} =\mathbf {\operatorname {grad} } (\operatorname {div} \mathbf {E} )-\Delta E}
. Подставив сюда
rot
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
и
div
E
=
0
{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {E} =0}
, получим:
rot
(
−
∂
B
∂
t
)
=
−
Δ
E
{\displaystyle \operatorname {rot} \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-\Delta \mathbf {E} }
Далее имеем цепочку равенств:
Δ
E
=
rot
∂
B
∂
t
=
∂
∂
t
rot
B
=
μ
μ
0
∂
∂
t
rot
H
{\displaystyle \Delta \mathbf {E} =\operatorname {rot} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {rot} \mathbf {H} }
Подставляем сюда из уравнений Максвелла
rot
H
=
∂
D
∂
t
{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
, получаем:
Δ
E
=
μ
μ
0
∂
∂
t
(
∂
D
∂
t
)
=
μ
μ
0
∂
2
D
∂
t
2
=
μ
μ
0
ε
ε
0
∂
2
E
∂
t
2
{\displaystyle \Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)=\mu \mu _{0}{\partial ^{2}\mathbf {D} \over \partial t^{2}}=\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}}
[ 2]
Введя обозначение скорости распространения
v
=
1
/
μ
μ
0
ϵ
ϵ
0
{\displaystyle v=1/{\sqrt {\mu \mu _{0}\epsilon \epsilon _{0}}}}
, записываем:
Δ
E
x
i
+
Δ
E
y
j
+
Δ
E
z
k
=
1
v
2
∂
2
∂
t
2
(
E
x
i
+
E
y
j
+
E
z
k
)
{\displaystyle \Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k} ={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}(E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} )}
Вектор
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
колеблется в плоскости
X
Y
{\displaystyle XY}
перпендикулярно оси
X
{\displaystyle X}
, поэтому
E
x
=
E
z
=
0
{\displaystyle E_{x}=E_{z}=0}
.
Δ
E
y
=
1
v
2
∂
2
E
y
∂
t
2
{\displaystyle \Delta E_{y}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}}
∂
2
E
y
∂
x
2
+
∂
2
E
y
∂
y
2
+
∂
2
E
y
∂
z
2
=
1
v
2
∂
2
E
y
∂
t
2
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}}
Волна распространяется вдоль оси
X
{\displaystyle X}
, поэтому
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
не зависит от координат
y
{\displaystyle y}
и
z
{\displaystyle z}
:
∂
2
E
y
∂
x
2
=
1
v
2
∂
2
E
y
∂
t
2
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}}
.
Аналогичное рассматривается поведение напряжённости магнитного поля
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
∂
2
E
y
∂
x
2
=
1
v
2
∂
2
E
y
∂
t
2
v
=
1
μ
μ
0
ϵ
ϵ
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}\qquad v={\frac {1}{\sqrt {\mu \mu _{0}\epsilon \epsilon _{0}}}}}
∂
2
H
z
∂
x
2
=
1
v
2
∂
2
H
z
∂
t
2
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}H_{z} \over \partial t^{2}}}
.
Простейшим решением этих уравнений будут функции[ 3] :
E
y
=
E
m
cos
(
ω
t
−
k
x
)
{\displaystyle E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)}
H
z
=
H
m
cos
(
ω
t
−
k
x
)
{\displaystyle H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)}
,
где
k
{\displaystyle k}
— волновое число . Найдём его, подставив решение в волновое уравнение:
E
m
k
2
cos
(
ω
t
−
k
x
)
=
1
v
2
E
m
ω
2
cos
(
ω
t
−
k
x
)
{\displaystyle E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{v^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\omega t-kx)}
Отсюда получается, что
k
=
ω
/
v
{\displaystyle k=\omega /v}
.
Отношение амплитуд электрической и магнитной составляющих электромагнитной волны может быть определено с использованием уравнений
rot
E
=
−
μ
μ
0
∂
H
∂
t
rot
H
=
ε
ε
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-\mu \mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\qquad \operatorname {rot} \mathbf {H} =\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
.
Подставляя сюда выписанные выше решения для полей, приходим к двум соотношениям:
показать подробности подстановки
E
m
k
=
μ
μ
0
H
m
ω
{\displaystyle E_{m}k=\mu \mu _{0}H_{m}\omega }
ε
ε
0
E
m
ω
=
H
m
k
{\displaystyle \varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega =H_{m}k}
Если умножить одно на другое, получится связь амплитуд:
ε
ε
0
E
m
2
k
ω
=
μ
μ
0
H
m
2
k
ω
{\displaystyle \varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}^{2}k\omega =\mu \mu _{0}H_{m}^{2}k\omega }
.
В случае вакуума (
c
{\displaystyle c}
— скорость света в вакууме):
E
m
H
m
=
μ
0
ε
0
=
(
4
π
10
−
7
)
(
4
π
c
2
10
7
)
=
120
π
≈
377
{\displaystyle {\frac {E_{m}}{H_{m}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi c^{2}10^{7})}}=120\pi \approx 377}
Ом[ 3] .
↑ В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Оператор Лапласа" и "Ротор векторного поля".
↑ И.В.Савельев "Курс общей физики" том II параграф "Волновое уравнение" стр. 398 формула (109.8)
↑ 1 2 И.В.Савельев "Курс общей физики" том II параграф "Плоская электромагнитная волна"
Виды уравнений Типы уравнений Краевые условия Уравнения математической физики
Методы решения Сеточные методы
Конечноэлементные методы Другие методы
Не сеточные методы
Исследование уравнений Связанные темы