Восьмёрка (теория узлов)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Восьмёрка
ab_обозначение = 41
hyperbolic volume= 2,029 88
Число пересечений = 4
Обозначение Даукера= 4, 6, 8, 2
Обозначение Конвея= [22]
Класс= гоперболический
Число нитей = 3
Длина косы= 4
Число мостов = 2
Число отрезков = 7
Другое = альтернирующий, простой, полностью альтернирующий
Узел «Восьмёрка»

В теории узлов восьмёрка (четырёхкратный узел или узел Листинга) — это единственный узел с числом пересечений четыре. Это наименьшее возможное число пересечений, за исключением тривиального узла и трилистника. Восьмёрка является простым узлом. Впервые рассмотрен Листингом в 1847 году.

Происхождение названия[править | править вики-текст]

Название происходит от бытового узла восьмёрка на верёвке, у которой концы соединены.

Описание[править | править вики-текст]

Простое параметрическое представление узла «восьмёрка» задаётся множеством точек (x,y,z), для которых

 \begin{align}
          x & = \left(2 + \cos{(2t)} \right) \cos{(3t)} \\
          y & = \left(2 + \cos{(2t)} \right) \sin{(3t)} \\
          z & = \sin{(4t)}
        \end{align}

где t — вещественная переменная.

Восьмёрка является простым, альтернирующим (англ.), рациональным (англ.) узлом с соответствующим значением 5/2. Он является также ахиральным узлом. Восьмёрка является расслоённым (англ.) узлом. Это следует из другого, менее простого (но более интересного) представления узла:

  1. Узел является однородной[1] замкнутой косой (а именно, замыканием косы с 3 нитями σ1σ2−1σ1σ2−1), а теорема Джона Сталлингса (англ.) показывает, что любая однородная коса является расслоённой.
  2. Узел является зацеплением в точке (0,0,0,0) — изолированной критической точки вещественного полиномиального отображения F: R4R2 так, что (согласно теореме Джона Милнора) отображение Милнора (англ.) F является расслоением. Бернард Перрон нашёл первую такую функцию F для этого узла, а именно:
F(x, y, z, t)=G(x, y, z^2-t^2, 2zt),\,\!

где

\begin{align}
                G(x,y,z,t)=\ & (z(x^2+y^2+z^2+t^2)+x (6x^2-2y^2-2z^2-2t^2), \\
                             & \ t x \sqrt{2}+y (6x^2-2y^2-2z^2-2t^2)).
          \end{align}.

Математические свойства[править | править вики-текст]

Простое прямоугольное изображение узла «восьмёрка».

Узел «восьмёрка» играл исторически важную роль (и продолжает её играть) в теории 3-многообразий (англ.). Где-то в середине 1970-х, Уильям Тёрстон показал, что восьмёрка является гиперболическим узлом (англ.) путём разложения его дополнения на два идеальных гиперболических тетраэдра (Роберт Райли и Троэльс Йоргенсен, работая независимо друг от друга, до этого показали, что восьмёрка является гиперболической в другом смысле). Эта конструкция, новая по тем временам, привела его ко многим сильным результатам и методам. Например он смог показать, что все, кроме десяти, хирургий Дена (англ.) на узле «восьмёрка» дают нехакеновы (англ.), не допускающие расслоение Зейферта неразложимые (англ.) 3-многообразия. Это был первый из таких результатов. Много других было открыто путём обобщения построения Тёрстона для других узлов и зацеплений.

Восьмёрка является также гиперболическим узлом с наименьшим возможным объёмом[убрать шаблон] 2,029 88..., согласно работе Чо Чунь (Chun Cao) и Роберта Майерхофа (Robert Meyerhoff). С этой точки зрения восьмёрку можно рассматривать как самый простой гиперболический узел. Дополнение восьмёрки является двойным накрытием многообразия Гизекинга (англ.), которое имеет наименьший объём среди некомпактных гиперболических 3-многообразий.

Узел «восьмёрка» и кружевной узел (−2,3,7) (англ.) являются двумя гиперболическими узлами, для которых известно более шести особых хирургий, хирургий Дена, приводящих к негиперболическим 3-многообразиям. Они имеют 10 и 7 соответственно. Теорема Лэкенби (Lackenby) и Майерхофа, доказательство которой опирается на теорему геометризации и использование компьютерных вычислений, утверждает, что 10 является максимальным возможным числом особых хирургий для любых гиперболических узлов. Однако до сих пор не установлено, является ли восьмёрка единственным узлом, на которой достигается граница 10. Хорошо известная гипотеза утверждает, что нижняя граница (за исключением двух упомянутых узлов) равна 6.

Симметричное изображение, полученное из параметрических уравнений.

Инварианты[править | править вики-текст]

Многочлен Александера восьмёрки равен

\Delta(t) = -t + 3 - t^{-1},\

многочлен Конвея равен

\nabla(z) = 1-z^2,\ [2]

а многочлен Джонса равен

V(q) = q^2 - q + 1 - q^{-1} + q^{-2}.\

Симметрия относительно q и q^{-1} в многочлене Джонса отражает ахиральность восьмёрки.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Коса называется однородной, если любой генератор \sigma_i либо всегда положителен, либо всегда отрицателен.
  2. 4_1 Knot Atlas

Литература[править | править вики-текст]

  • Ian Agol Bounds on exceptional Dehn filling // Geometry & Topology. — 2000. — Т. 4. — С. 431–449. MR1799796
  • Chun Cao, Robert Meyerhoff The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume // Inventiones Mathematicae. — 2001. — Т. 146, вып. 3. MR1869847
  • Marc Lackenby Word hyperbolic Dehn surgery // Inventiones Mathematicae. — 2000. — Т. 140, вып. 2. — С. 243–282. MR1756996
  • The maximal number of exceptional Dehn surgeries. — arΧiv0808.1176
  • Robion Kirby Problems in low-dimensional topology. (see problem 1.77, due to Cameron Gordon, for exceptional slopes)
  • William Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. — Princeton University lecture notes (1978–1981)..

Ссылки[править | править вики-текст]