Вписанная окружность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE

Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.

В многоугольнике[править | править вики-текст]

  • Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая и является центром вписанной окружности.
  • Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к его полупериметру

В треугольнике[править | править вики-текст]

Окружность, вписанная в треугольник со сторонами a, b, c.

Свойства вписанной окружности:

  • В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
  • Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен:

где  — стороны треугольника,  — высоты, проведённые к соответствующим сторонам[1];

где  — площадь треугольника, а  — его полупериметр.
  • Если  — основание равнобедренного треугольника , то окружность, касающаяся сторон угла в точках и , проходит через центр вписанной окружности треугольника .
  • Теорема Эйлера: , где  — радиус описанной вокруг треугольника окружности,  — радиус вписанной в него окружности,  — центр описанной окружности,  — центр вписанной окружности.
  • Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне , пересекает стороны и в точках и , то .
  • Если точки касания вписанной в треугольник окружности соединить отрезками, то получится треугольник со свойствами:
  • Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен .
  • Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно .
  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно , где  — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C.
  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам и
  • Теорема о трезубце или теорема трилистника: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда .
  • Лемма Веррьера[2]: пусть окружность касается сторон , и дуги описанной окружности треугольника . Тогда точки касания окружности со сторонами и центр вписанной окружности треугольника лежат на одной прямой.

Связь вписанной окружности с описанной окружностью[править | править вики-текст]

  • Формула Эйлера: Если  — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны и соответственно, то .
  • Формулы для отношения и произведения радиусов:
[3]
,

где  — полупериметр треугольника,  — его площадь.

  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[4].
  • Для треугольника можно построить полувписанную окружность, или окружность Варьера. Это окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке. Эта точка служит центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей описанную окружность во вписанную.
  • Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и полувписанной окружности.
Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R

В четырёхугольнике[править | править вики-текст]

  • Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.
  • Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
  • Иными словами, в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: .
  • Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Гаусса. На рисунке она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
  • Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В сферическом треугольнике[править | править вики-текст]

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

  • Тангенс радиуса[5] вписанной в сферический треугольник окружности равен[6]:73-74
  • Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника[6]:20-21.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Altshiller-Court, 1925, p. 79.
  2. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с.
  3. Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
  4. Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.: МЦНМО, 2002. c. 11, п. 5
  5. Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и точку касания окружностью стороны треугольника.
  6. 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Литература[править | править вики-текст]