Вписанная окружность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE

Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.

В многоугольнике[править | править вики-текст]

  • Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая и является центром вписанной окружности.
  • Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру
r=\frac{S}{p}

В треугольнике[править | править вики-текст]

Свойства вписанной окружности:

r = \sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}};
\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}

где p — полупериметр треугольника, ha и т. д. высоты, проведенные к соответствующим сторонам[1];

r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}
где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.
  • Если AB — основание равнобедренного \triangle ABC, то окружность, касающаяся сторон \angle ACB в точках A и B, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.
  • Формула Эйлера: R^2-2Rr=|OI|^2, где R — радиус описанной вокруг треугольника окружности, r — радиус вписанной в него окружности, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной окружности.
  • Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A1 и B1, то A_1B_1=A_1B+AB_1.
  • Точки касания вписанной в треугольник T окружности соединены отрезками — получается треугольник T1
  • Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен \frac{a+b-c}{2}.
  • Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=\frac{a+b-c}{2}=p-c.
  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно l_c=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}, где r — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C.
  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам l_c = \sqrt{(p-c)^2 + r^2} и l_c = \sqrt{ab - 4Rr}
  • Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|.
  • Лемма Веррьера[2]: пусть окружность V касается сторон AB, AC и дуги BC описанной окружности треугольника ABC. Тогда точки касания окружности V со сторонами и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой.

Связь вписанной окружности с описанной окружностью[править | править вики-текст]

  • Формула Эйлера: Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны r и R соответственно, то d^2 = R^2 - 2Rr.
  • Формулы для отношения и произведения радиусов:
\frac{r}{R} = \frac{4 S^{2}}{pabc} = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma -1;[3] 2Rr = \frac{abc}{a+b+c},
\frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} = \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1

где p — полупериметр треугольника, S - его площадь.

  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности [4].
  • В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную.
  • Точки касания окружностей Веррьера со сторонами треугольника лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.
Полувписанные окружности

В четырёхугольнике[править | править вики-текст]

  • Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.
  • Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито[en].
  • Иными словами, в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.
  • Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Гаусса. На рисунке она зеленая, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
  • Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В сферическом треугольнике[править | править вики-текст]

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

  • Тангенс радиуса[5] вписанной в сферический треугольник окружности равен[6]:73-74
\operatorname{tg}r=\sqrt{\frac{\sin (p-a)\sin (p-b)\sin (p-c)}{\sin p}}\,
  • Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника[6]:20-21.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Altshiller-Court, p. 79.
  2. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с.
  3. Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
  4. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека "Математическое просвещение"». М.:МЦНМО,2002. c. 11, п. 5.
  5. Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и точку касания окружностью стороны треугольника.
  6. 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Литература[править | править вики-текст]