Момент силы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Вращающий момент»)
Перейти к: навигация, поиск
Момент силы
\vec{M}=\left[\vec{r}\times\vec{F}\right]
Размерность

L2MT−2

Единицы измерения
СИ

Н·м

СГС

Дина-сантиметр

Примечания

Псевдовектор

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя
Зависимости между силой F, моментом силы τ (M), импульсом p и моментом импульса L в системе, которая была ограничена только в одной плоскости (силы и моменты, обусловленные тяжестью и трением, не учитываются).

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведённого от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Общие сведения[править | править вики-текст]

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метра от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров от оси вращения. Более точно момент силы частицы определяется как векторное произведение:

\vec M = \left[\vec r\times\vec F\right],

где \vec F — сила, действующая на частицу, а \vec r — радиус-вектор частицы.

Предыстория[править | править вики-текст]

Для того чтобы понять, откуда появилось обозначение момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы \vec F на рычаг \vec r, совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок dl, которому соответствует бесконечно малый угол d\varphi. Обозначим через \vec dl вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка dl и равен ему по модулю. Угол между вектором силы \vec F и вектором \vec dl равен \beta, а угол между векторами \vec r и \vec F — \alpha.

Следовательно, бесконечно малая работа dA, совершаемая силой \vec F на бесконечно малом участке dl, равна скалярному произведению вектора \vec dl и вектора силы, то есть dA = \vec F \cdot \vec dl.

Теперь попытаемся выразить модуль вектора \vec dl через радиус-вектор \vec r, а проекцию вектора силы \vec F на вектор \vec dl — через угол \alpha .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага dl можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу \vec r, используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: dl = r \mathrm{tg}\,d\varphi, где в случае малого угла справедливо \mathrm{tg}\,d\varphi = d\varphi и, следовательно, \left|\vec{dl}\right| = \left|\vec r\right| d\varphi.

Для проекции вектора силы \vec F на вектор \vec dl видно, что угол \beta = \alpha - \frac{\pi}{2}, а так как \cos{\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)} = \sin\alpha, получаем, что \left|\vec F\right|\cos\beta = \left|\vec F\right|\sin\alpha.

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: dA = \left|\vec r\right|d\varphi\left|\vec F\right|\sin\alpha, или dA = \left|\vec r\right|\left|\vec F\right|\sin(\alpha) d\varphi.

Теперь видно, что произведение \left|\vec r\right|\left|\vec F\right|\sin\alpha есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов \vec r и \vec F, то есть \left|\vec r\times\vec F\right|, которое и было принято обозначить за момент силы M, или модуль вектора момента силы \left|\vec M\right|.

Теперь полная работа записывается просто: A = \int\limits_0^\varphi \left|\vec r\times\vec F\right| d\varphi, или A = \int\limits_0^\varphi \left|\vec M\right| d\varphi.

Единицы[править | править вики-текст]

Момент силы имеет размерность «сила на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ. Энергия и механическая работа также имеют размерность «сила на расстояние» и измеряются в системе СИ в джоулях. Следует заметить, что энергия — это скалярная величина, тогда как момент силы — величина (псевдо) векторная. Совпадение размерностей этих величин не случайность: момент силы 1 Н·м, приложенный через целый оборот, совершает механическую работу и сообщает энергию 2\pi джоулей. Математически:

E = M\theta,

где Е — энергия, M — вращающий момент, θ — угол в радианах.

Специальные случаи[править | править вики-текст]

Формула момента рычага[править | править вики-текст]

Момент рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

\left|\vec M\right| = \left|\vec{M}_1\right| \left|\vec F\right|, где: \left|\vec{M}_1\right| — момент рычага, \left|\vec F\right| — величина действующей силы.

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину. Если сила перпендикулярна вектору \vec r, момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален:

\left|\vec{T}\right| = \left|\vec r\right| \left|\vec F\right|

Сила под углом[править | править вики-текст]

Если сила \vec F направлена под углом \theta к рычагу r, то M = r F \sin\theta.

Статическое равновесие[править | править вики-текст]

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.

Момент силы как функция от времени[править | править вики-текст]

Момент силы — производная по времени от момента импульса,

Видеоурок: вращающий момент
\vec M = \frac{d\vec L}{dt},

где \vec L — момент импульса.

Возьмём твердое тело. Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

\vec{L_o} = I_c\,\vec\omega + [M(\vec{r_o} - \vec{r_c}), \vec{v_c}]

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если I — постоянная величина во времени, то

\vec M = I\frac{d\vec\omega}{dt} = I\vec\alpha,

где \vec\alpha — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с2). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

\vec{M_c} = I_c\frac{d\vec\omega}{dt} + [\vec w, I_c\vec w].

Отношение между моментом силы и мощностью[править | править вики-текст]

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Так же и момент силы, если совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

P = \vec M \cdot \vec\omega

В системе СИ мощность P измеряется в Ваттах, момент силы — в ньютон-метрах, а угловая скорость — в радианах в секунду.

Отношение между моментом силы и работой[править | править вики-текст]

A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \left|\vec M\right| \mathrm{d}\theta

В случае постоянного момента получаем:

A = \left|\vec M\right|\theta

В системе СИ работа A измеряется в джоулях, момент силы — в ньютон·метр, а угол — в радианах.

Обычно известна угловая скорость \omega в радианах в секунду и время действия момента t.

Тогда совершённая моментом силы работа рассчитывается как:

A = \left|\vec M\right|\omega t

Момент силы относительно точки[править | править вики-текст]

Если имеется материальная точка O_F, к которой приложена сила \vec F, то момент силы относительно точки O равен векторному произведению радиус-вектора \vec r, соединяющего точки O и O_F, на вектор силы \vec F:

\vec{M_O} = \left[\vec r \times \vec F\right].

Момент силы относительно оси[править | править вики-текст]

Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную этой оси относительно точки пересечения оси с плоскостью, то есть M_z(F) = M_o(F') = F'h'.

Единицы измерения[править | править вики-текст]

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Измерение момента[править | править вики-текст]

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки.

См. также[править | править вики-текст]