Вронскиан

Вронскиа́н — функция $W_{f}$, определённая для системы функций $f=(f_{1},\ldots f_{n})$, дифференцируемых $(n-1)$ раз на промежутке $I$, задаётся как определитель функциональной матрицы Вронского:

$W_{f}=\det {\begin{pmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f'_{1}&f'_{2}&\cdots &f'_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{pmatrix}}$,

то есть функция $I\to \mathbb {R}$, характеризующая в каждой точке промежутка поведение системы $f$. Наименование в честь Юзефа Вронского (Вроньского), в трудах которого подобный функциональный определитель фигурировал с 1812 года, дано Томасом Мьюром в монографии 1882 года.

Если $f_{1},\ldots ,f_{n}$ — линейно зависимы на $I$, то $W(x)=0$ для всех $x\in I$. Если вронскиан на интервале не равен нулю хотя бы в одной точке, то функции $f_{1},\ldots ,f_{n}$ являются линейно независимыми; обратное, вообще говоря, неверно.

Применяется для решения дифференциальных уравнений: если $f=f_{1},\ldots ,f_{n}$ — решения линейного однородного дифференциального уравнения, то либо $W_{f}$ (называемый вронскианом уравнения) тождественно равен нулю, и тогда $f_{1},\ldots ,f_{n}$ линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке $I$, что означает линейную независимость функций $f_{1},\ldots ,f_{n}$ — это служит для поиска общего решения. Формула Лиувилля — Остроградского связывает вронскиан и коэффициенты линейной однородной системы дифференциальных уравнений.

Обобщённый вронскиан — определитель обобщённой матрицы Вронского — матрицы из компонент-проекций $n$ вектор-функций $f_{(1)},\ldots ,f_{(n)}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$:

$GW_{(f_{1},\dots f_{n})}=\det {\begin{pmatrix}f_{(1)1}&f_{(2)1}&\cdots &f_{(n)1}\\f_{(1)2}&f_{(2)2}&\cdots &f_{(n)2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{(1)n}&f_{(2)n}&\cdots &f_{(n)n}\end{pmatrix}}$.

Литература

• Н. X. Розов. Вронскиан // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1: А — Г. — 1152 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Wronskian . Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
• Романко В. К. Главы 5 и 6 // Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — С. 158—164, 174-177. — (Технический университет). — 3000 экз. — ISBN 5-93208-097-3.