Выборочная функция распределения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — выборка из распределения случайной величины , задаваемой функцией распределения . Будем считать, что , где , — независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов . Пусть . Определим случайную величину следующим образом:

,

где  — индикатор события ,  — функция Хевисайда. Таким образом, выборочная функция распределения в точке равна относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение . Случайная величина называется выборочной функцией распределения случайной величины и является аппроксимацией для функции . Существует результат, показывающий, что при функция равномерно сходится к , и указывающий скорость сходимости.

Основные свойства[править | править вики-текст]

,

где , а  — количество элементов выборки, равных . В частности, если все элементы выборки различны, то .

.

Таким образом выборочное среднее — это теоретическое среднее выборочного распределения.

.
  • Выборочная функция распределения является несмещённой оценкой функции распределения :
.
  • Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
.
почти наверное при .
по распределению при .

См. также[править | править вики-текст]