Вынужденные колебания

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: .

Вынужденные колебания гармонического осциллятора[править | править вики-текст]

Консервативный гармонический осциллятор[править | править вики-текст]

Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде: . Если ввести обозначения: и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

,

где  — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: и получим значение для константы:

Тогда окончательное решение запишется в виде:

Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания

Резонанс[править | править вики-текст]

Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: . Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что :

Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:

Затухающий гармонический осциллятор[править | править вики-текст]

Второй закон Ньютона:

.

Переобозначения:

Дифференциальное уравнение:

Его решение будет строиться, как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного. Анализ однородного уравнения приведён здесь. Получим и проанализируем частное решение.

Запишем вынуждающую силу следующим образом: , тогда решение будем искать в виде: . Подставим это решение в уравнение и найдём выражение для A:

где

Полное решение имеет вид:

,

где  — собственная частота затухающих колебаний.

Константы и в каждом из случаев определяются из начальных условий:

В этом случае, в отличие от осциллятора без трения, амплитуда колебаний в резонансе имеет конечную величину.

Если мы рассмотрим устоявший процесс, то есть ситуацию при , то решение однородного уравнения будет стремиться к нулю и останется только частное решение:

Это означает, что при система «забывает» начальные условия, и характер колебаний зависит только от вынуждающей силы.

Работа, совершаемая вынуждающей силой за время , равна , а мощность . Из уравнения

следует, что

Если учесть, что при установившихся вынужденных колебаниях

то тогда средняя за период мощность:

Работа за период

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]