Гармоническая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

где  — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам xi (n = dim D - размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Свойства[править | править вики-текст]

Принцип максимума[править | править вики-текст]

Функция U, гармоническая в области , достигает своего максимума и минимума только на границе . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать

Теорема Лиувилля[править | править вики-текст]

Гармоническая функция, определённая на и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего[править | править вики-текст]

Если функция гармонична в некотором шаре с центром в точке , то её значение в точке равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

где  — объём шара и  — площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость[править | править вики-текст]

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака[править | править вики-текст]

Если функция , гармоническая в к-мерном шаре радиуса с центром в некоторой точке , неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: , где [1].

Теорема Гарнака[править | править вики-текст]

Пусть - положительные гармонические функции в некоторой области . Если ряд сходится хотя бы в одной точке области , то он равномерно сходится внутри .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А.Ф. Тиман, В.Н. Трофимов Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968

Литература[править | править вики-текст]