Гармоническая четвёрка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Пример гармонической четвёрки точек A, B, C и D.

Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой, двойное отношение которых (ABCD)=-1. Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых a, b, c, d в проективной плоскости, проходящих через одну точку S, для которых любая четвёрка точек A,B,C,D, такая, что A\in a, B\in b, C\in c, D\in d, находящаяся на одной прямой, является гармонической.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если гармоническая четвёрка прямых пересечена прямой, то на этой прямой образуется гармоническая четвёрка точек.
  • На каждой стороне полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек.
  • На каждой диагонали полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек.

Гармоническая четвёрка на расширенной евклидовой плоскости[править | править вики-текст]

  • Если точка D_\infty несобственная, то четвёрка A,B,C,D_\infty гармоническая, если B — середина отрезка AC.
  • Если ABCD — полный четырёхвершинник и его диагональные точки P_\infty,Q_\infty — несобственные, то на расширенной евклидовой плоскости ABCD — параллелограмм, а из его гармонических свойств следует, что точка пересечения его диагоналей делит их пополам.
  • Если ABCD — полный четырёхвершинник, у которого одна диагональная точка R_\infty=BC\cap AD — несобственная, P=AB\cap CD, Q=AC\cap BD, то на расширенной евклидовой плоскости ABCD — трапеция, а из его гармонических свойств следует, что PQ делит AD пополам.

Построение[править | править вики-текст]

Для любых трёх точек, лежащих на одной прямой, пользуясь гармоническими свойствами полного четырёхвершинника, можно построить четвёртую точку так, что получится гармоническая четвёрка точек.

Литература[править | править вики-текст]

  • Базылев, Дуничев, Иваницкая. Геометрия, часть 2. — М.: Просвещение, 1975.
  • Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 6-е изд.. — М., 1978.
  • Певзнер С.Л. Проективная геометрия. — М.: Просвещение, 1980.
  • Постников М. М. Аналитическая геометрия. — 1973.