Гармоническая четвёрка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
A, B, C, D — гармоническая четвёрка точек.

Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой, двойное отношение которых . В этом случае говорят также, что точки и гармонически сопряжены относительно и пишут .

Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых в проективной плоскости, проходящих через одну точку , для которых любая четвёрка точек , такая, что , находящаяся на одной прямой, является гармонической. В этом случае пишут .

Свойства[править | править код]

  • Если гармоническая четвёрка прямых пересечена прямой, то на этой прямой образуется гармоническая четвёрка точек.
  • На каждой стороне полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек.[уточнить]
  • На каждой диагонали полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек.[уточнить]
  • Гармоническая четвёрка точек на комплексной плоскости лежит на одной прямой или оружности, и пары касательных в противоположных точках конкурентны диагонали.

Построение[править | править код]

  • Для любых трёх точек, лежащих на одной прямой, пользуясь гармоническими свойствами полного четырёхвершинника, можно построить четвёртую точку так, что получится гармоническая четвёрка точек.
  • На рисунке выше точки пересечения двух пар противоположных сторон ML и KN, MK и LN полного четырёхугольника MLNK (соответственно первые две точки A и B прямой), а также точки D и C пересечения соответственно диагоналей LK и MN с этой прямой (прямая AC), проходящей через эти точки, образуют гармоническую четвёрку точек A, B, C, D.
  • Построения последнего пункта (см. также рисунок) полностью дублирует следующая теорема[1]: Для точки K прямая Чевы (например LD) треугольника ALB и прямая MN, соединяющая основания M и N двух других прямых Чевы AN и BM, делят противоположную сторону AB гармонически.

Пример гармонической четвёрки точек[править | править код]

  • Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине треугольника пересекают противоположную этой вершине сторону и соответственно её продолжение в двух точках, которые вместе с двумя концами этой стороны образуют гармоническую четвёрку точек[2].
  • Точка, гармонически сопряженная середине стороны треугольника, находится на продолжении этой стороны на бесконечности[3].

Гармоническая четвёрка на расширенной евклидовой плоскости[править | править код]

  • Если точка несобственная, то четвёрка гармоническая, если  — середина отрезка .
  • Если  — полный четырёхвершинник и его диагональные точки  — несобственные, то на расширенной евклидовой плоскости  — параллелограмм, а из его гармонических свойств следует, что точка пересечения его диагоналей делит их пополам.
  • Если  — полный четырёхвершинник, у которого одна диагональная точка  — несобственная, , то на расширенной евклидовой плоскости  — трапеция, а из его гармонических свойств следует, что делит пополам.

Примечания[править | править код]

  1. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. Теорема на с. 46, § 31.
  2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. Теорема на с. 46, § 30.
  3. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. Задача на с. 46, § 30.

Литература[править | править код]

  • Базылев, Дуничев, Иваницкая. Геометрия, часть 2. — М.: Просвещение, 1975.
  • Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 6-е изд.. — М., 1978.
  • Певзнер С.Л. Проективная геометрия. — М.: Просвещение, 1980.
  • Постников М. М. Аналитическая геометрия. — 1973.
  • Х. С. М. Кокстер. Действительная проективная плоскость / под ред. проф. А. А. Глаголева. — М., 1959.