Гармоническое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гармоническое число , где (красная линия) и его асимптотический предел (синяя линия).

В математике nгармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Альтернативные определения[править | править вики-текст]

  • Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
  • Также верно соотношение:
    ,
    где  — дигамма-функция,  — постоянная Эйлера — Маскерони.
  • Еще одно соотношение:

Дополнительные представления[править | править вики-текст]

Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках отличных от точек натурального ряда):

  • Интегральные представления:
  • Предельные представления:
  • Разложение в ряд Тейлора в точке :
    где  — дзета-функция Римана.
  • Асимптотическое разложение:

Производящая функция[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

Значения от нецелого аргумента[править | править вики-текст]

где  — золотое сечение.

Суммы, связанные с гармоническими числами[править | править вики-текст]


Тождества, связанные с гармоническими числами[править | править вики-текст]

  • , где
  • , где

Приближенное вычисление[править | править вики-текст]

С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу:

где ,  — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображений[каких?], а  — числа Бернулли.

Теоретико-числовые свойства[править | править вики-текст]

  • Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа выполняется сравнение:

Приложения[править | править вики-текст]

В 2002 году Lagarias доказал,[1] что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство

верно при всех целых со строгим неравенством при , где  — сумма делителей числа .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Jeffrey Lagarias An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis // Amer. Math. Monthly. — 2002. — № 109. — С. 534-543.