Гармоническое число

Гармоническое число $H_{n,1}$, где $n=\lfloor {x}\rfloor$ (красная линия) и его асимптотический предел $\gamma +\ln(x)$ (синяя линия).

В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.$

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Альтернативные определения

• Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:

  ${\begin{cases}H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}\\H_{1}=1\end{cases}}$

• Также верно соотношение:

  $H_{n}=\psi (n+1)+\gamma ={\frac {\Gamma '(n+1)}{\Gamma (n+1)}}+\gamma$,

  где $\psi (n)$ — дигамма-функция, $\gamma =-\psi (1)$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

• Еще соотношения:

  $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$

  $H_{n}={n}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {(-1)^{k+1}}{k^{2}}}={(-1)^{n-1}}{n}\Delta ^{n-1}{1}^{-2},$

  где $\Delta ^{n}{1}^{-2}=\Delta ^{n}{x}^{-2}$ в точке ${x}=1$ - верхняя конечная разность n-го порядка функции $f(x)={\frac {1}{{x}^{2}}}$.

Дополнительные представления

Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точек натурального ряда):

• интегральные представления:

  $H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}dt,\quad Re(x)>-1$

• предельные представления:

  $H_{x}=\lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{x+k+1}}\right)+\gamma$

  $H_{x}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(x+k+1)}}$;

• разложение в ряд Тейлора в точке $x=0$:

  $H_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)x^{k}=\zeta (2)x-\zeta (3)x^{2}+\zeta (4)x^{3}-\zeta (5)x^{4}+\cdots ,$

  где $\zeta (x)$ — дзета-функция Римана;

• асимптотическое разложение:

  $H_{x}=\gamma +\ln(x)+{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {1}{132x^{10}}}+\cdots$.

Производящая функция

$\sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}=-{\frac {\ln(1-z)}{1-z}}$

Свойства

Значения от нецелого аргумента

• $H_{1/2}=2-2\ln 2$
• $H_{1/3}=3-{\frac {3\ln 3}{2}}-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}$
• $H_{1/4}=4-3\ln 2-{\frac {\pi }{2}}$
• $H_{1/5}=5-{\frac {5\ln 5}{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\pi -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln \varphi ,$

где $\varphi$ — золотое сечение.

• $H_{1/7}=7-\ln 14-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{7}}-2\cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\ln \left(\cos {\frac {\pi }{14}}\right)+2\sin \left({\frac {3\pi }{14}}\right)\ln \left(\sin {\frac {\pi }{7}}\right)-2\sin \left({\frac {\pi }{14}}\right)\ln \left(\cos {\frac {3\pi }{14}}\right)$

Суммы, связанные с гармоническими числами

• $\sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1){H_{n}}-n=(n+1)({H_{n+1}}-1)$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k}}=\infty$

Cуществует общая формула суммирования целого класса рядов, содержащих гармонические числа:

• $2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{m}}}=(m+2)\zeta (m+1)-\sum _{k=1}^{m-2}\zeta (m-k)\zeta (k+1)\,m\geq 2$

Из выражения выше вытекают следующие соотношения:

• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}=2\zeta (3)$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{3}}}={\frac {1}{2}}\zeta (2)^{2}={\frac {5}{4}}\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{72}}$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{4}}}=3\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3)=3\zeta (5)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\zeta (3)$

Другая общая формула суммирования:

• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{k}}{k^{2m}}}=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\eta (2m+1)-{\frac {1}{2}}\zeta (2m+1)-\sum _{i=1}^{m-1}\eta (2i)\zeta (2m-2i+1)\,m\geq 1$

Прочие знакопеременные ряды:

• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{k}}{k^{3}}}={\frac {11}{4}}\zeta (4)+{\frac {1}{2}}\zeta (2)\ln ^{2}2-{\frac {7}{4}}\zeta (3)\ln 2-{\frac {1}{12}}\ln ^{4}2-2\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {11\pi ^{4}}{360}}+{\frac {\pi ^{2}}{12}}\ln ^{2}2-{\frac {7}{4}}\zeta (3)\ln 2-{\frac {1}{12}}\ln ^{4}2-2\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{2k}}{k^{3}}}={\frac {195}{32}}\zeta (4)+{\frac {5}{4}}\zeta (2)\ln ^{2}2-{\frac {35}{8}}\zeta (3)\ln 2-{\frac {5}{24}}\ln ^{4}2-5\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {195\pi ^{4}}{2880}}+{\frac {5\pi ^{2}}{24}}\ln ^{2}2-{\frac {35}{8}}\zeta (3)\ln 2-{\frac {5}{24}}\ln ^{4}2-5\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{2k}}{k^{4}}}={\frac {\pi }{192}}\psi ^{(3)}\left({\frac {1}{4}}\right)-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\zeta (3)-{\frac {437}{64}}\zeta (5)-{\frac {\pi ^{5}}{24}}$

• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{2k}H_{k}}{\displaystyle k^{3}{\binom {2k}{k}}}}=\zeta (4)+8\zeta (2)\ln ^{2}2-{\frac {1}{3}}\ln ^{4}2-8\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{4}}{90}}+{\frac {4\pi ^{2}}{3}}\ln ^{2}2-{\frac {1}{3}}\ln ^{4}2-8\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)$
• $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{2k}H_{2k}}{\displaystyle k^{3}{\binom {2k}{k}}}}=8\zeta (2)\ln ^{2}2+{\frac {65}{8}}\zeta (4)-{\frac {5}{6}}\ln ^{4}2-20\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {4\pi ^{2}}{3}}\ln ^{2}2+{\frac {13\pi ^{4}}{144}}-{\frac {5}{6}}\ln ^{4}2-20\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)$
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}H_{2n}^{2}}{(2n)^{2}}}={\frac {23}{32}}\zeta (2)\zeta (3)+{\frac {917}{128}}\zeta (5)+{\frac {2}{3}}\zeta (2)\ln ^{3}2-{\frac {7}{4}}\zeta (3)\ln ^{2}2-{\frac {2}{15}}\ln ^{5}2-4\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)\ln 2-4\operatorname {Li} _{5}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {23\pi ^{2}}{192}}\zeta (3)+{\frac {917}{128}}\zeta (5)+{\frac {2\pi ^{2}}{18}}\ln ^{3}2-{\frac {7}{4}}\zeta (3)\ln ^{2}2-{\frac {2}{15}}\ln ^{5}2-4\operatorname {Li} _{4}\left({\frac {1}{2}}\right)\ln 2-4\operatorname {Li} _{5}\left({\frac {1}{2}}\right)$

Тождества, связанные с гармоническими числами

• $(H_{n})^{3}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{ijk}}$
• $\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{1}{\frac {1}{ijk}}={\frac {1}{2}}H_{n}(H_{n}^{2}-\zeta _{n}(2))$, где $\zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}$
• $\zeta _{n}(2)=(H_{n})^{2}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {2H_{k}}{k+1}}-1$, где $\zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}$
• $H_{n^{2}}+1=(H_{n})^{2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^{2}-1}-{\frac {2H_{k}}{k+1}}-H_{k^{2}}\right)$
• $\sum _{i+j=u}{\frac {1}{ij}}={\frac {2H_{u-1}}{u}}$
• $\sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n$
• $H_{n}=\lim _{t\to 0}\,\int {\frac {(t+1)^{(-n-1)}+t-1}{t}}\,dt$

Гармонические числа в разложениях функций в ряды

Используя произведение Коши, нетрудно установить, что, например

• $\operatorname {arth} ^{2}t={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }t^{2n}{\frac {2H_{2n}-H_{n}}{n}}$

Кроме того, они появляются и в некоторых рядах Фурье, в том числе

• $\ln ^{2}(\operatorname {tg} x)={\frac {\pi ^{2}}{4}}+4\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {H_{2n}}{n}}-{\frac {H_{n}}{2n}}\right)\cos(4nx)$,

и в прочих степенных рядах:

• ${\frac {\ln \left({\frac {1-x}{1+x}}\right)}{1-x^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }(H_{n}-2H_{2n})x^{2n-1}$

Гармонические числа в результатах интегрирования

• $\int _{0}^{\pi /2}{\frac {(-1)^{n-1}+\cos(2n\theta )}{\cos(\theta )}}{\textrm {d}}\theta =(-1)^{n-1}(2H_{2n}-H_{n})$
• $\int _{0}^{1}x^{2n-1}\operatorname {arth} (x){\textrm {d}}x={\frac {H_{2n}}{2n}}-{\frac {H_{n}}{4n}}$
• $\int _{0}^{1}x^{2n-1}\ln(1-x)\ dx=-{\frac {H_{2n}}{2n}}$

Пределы, связанные с гармоническими числами

• $\lim \limits _{n\to \infty }H_{n}-H_{n-kn}=-\ln(1-k),\,0\leq k\leq 1$

Приближённое вычисление

С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу:

$H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},$

где $0<\theta _{m,n}<1$, $\gamma$ — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображений^{[каких?]}, а $B_{k}$ — числа Бернулли.

Теоретико-числовые свойства

• Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа $p>3$ выполняется сравнение:

  $H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}.$

Некоторые значения гармонических чисел

${\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{,}083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{matrix}}$

${\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363}{140}}&\approx &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\\\\H_{10^{3}}&\approx &7{,}485\\\\H_{10^{6}}&\approx &14{,}393\end{matrix}}$

Числитель и знаменатель несократимой дроби, представляющей собой n-e гармоническое число, являются n-ми членами целочисленных последовательностей A001008 и A002805, соответственно.

Приложения

В 2002 году Lagarias доказал, что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство

$\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}$

верно при всех целых $n\geq 1$ со строгим неравенством при $n>1$, где $\sigma (n)$ — сумма делителей числа $n$.

Обобщения

• Обобщённые гармонические числа
• Гипергармонические числа
• Гармонические числа Романа

См. также

• Теорема Вольстенхольма